Что такое arcsn(x, k)?
Обратный эллиптический синус Якоби, который записывают как arcsn(x, k), отвечает на вопрос: при заданном значении x и эллиптическом модуле k какому аргументу u соответствует равенство sn(u, k) = x? Здесь sn — это эллиптический синус Якоби, двоякопериодическое обобщение обычного синуса. Он встречается в теории колебаний маятника, в нелинейных осцилляторах, при конформных отображениях и при решении некоторых дифференциальных уравнений. Инструмент относится к чистой математике и применим где угодно — никаких национальных или отраслевых ограничений у него нет.
Формула
Функция arcsn(x, k) — это в точности неполный эллиптический интеграл первого рода, взятый при амплитуде phi = arcsin(x):
$$\operatorname{arcsn}(x, k) = F(\arcsin x, k) = \int_0^{\arcsin x} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$$ что равносильно интегралу $$\int_0^{x} \frac{dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}.$$ В калькуляторе используется соглашение через модуль \(k\) (то есть параметр равен \(m = k^2\)). Расчёт выполняется в симметричной форме Карлсона: $$\operatorname{arcsn}(x, k) = x \cdot R_F\!\left(1 - x^2,\; 1 - k^2 x^2,\; 1\right),$$ где \(R_F\) вычисляется быстро сходящимся алгоритмом удвоения. Это даёт полную двойную точность и точный результат в замкнутой форме.
Как пользоваться калькулятором
Введите \(x\) в диапазоне от -1 до 1 и модуль \(k\) в диапазоне от 0 до 1, после чего считайте значение \(u\). Переключатель точности влияет только на число отображаемых знаков; сами вычисления всегда идут с двойной точностью (около 15 значащих цифр).
Разбор примера
Пусть \(x = 0{,}7\) и \(k = 0{,}8\): $$\operatorname{arcsn} = 0{,}7 \cdot R_F(0{,}51;\ 0{,}6864;\ 1) \approx 0{,}7 \cdot 1{,}18218 \approx 0{,}82753.$$ Для проверки: при \(k = 0\) результат был бы равен \(\arcsin(0{,}7) = 0{,}77540\). Поскольку при \(k = 0{,}8\) знаменатель подынтегрального выражения становится меньше единицы, интеграл растёт, поэтому \(u > 0{,}7754\) — что согласуется с полученным \(0{,}8275\).
Частые вопросы
Что происходит при \(k = 0\)? Подынтегральное выражение обращается в 1, поэтому \(\operatorname{arcsn}(x, 0) = \arcsin(x)\).
Что происходит при \(k = 1\)? $$\operatorname{arcsn}(x, 1) = \operatorname{artanh}(x) = 0{,}5 \cdot \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right);$$ это значение уходит в бесконечность при приближении \(x\) к \(\pm 1\).
Чему равно \(\operatorname{arcsn}(\pm 1, k)\) при \(k < 1\)? Это \(\pm K(k)\) — полный эллиптический интеграл первого рода, конечная величина. Расходимость возникает только в единственном случае: \(k = 1\) одновременно с \(x = \pm 1\).
