Calculadora de comportamiento final de una función

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Degree (n)

Leading coefficient (aₙ)

Resultados

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

Qué hace esta calculadora

La Calculadora de comportamiento final de una función te dice qué ocurre con la salida de una función polinómica cuando la entrada x se aleja hacia la izquierda extrema (x → −∞) y hacia la derecha extrema (x → +∞). Solo necesitas dos números: el grado del polinomio y su coeficiente principal. Todos los términos de menor potencia son irrelevantes para las colas de la gráfica.

Cómo funciona

Para valores muy grandes de x, el término de mayor potencia crece más rápido que todos los términos de menor potencia juntos, así que él solo decide hacia dónde apunta cada cola de la gráfica. Este atajo se llama prueba del coeficiente principal. Dados el grado n y el coeficiente principal a_n, los cuatro resultados posibles son:

• n par, a_n > 0: ambas colas suben — izquierda → +∞, derecha → +∞.
• n par, a_n < 0: ambas colas bajan — izquierda → −∞, derecha → −∞.
• n impar, a_n > 0: la izquierda baja, la derecha sube — izquierda → −∞, derecha → +∞.
• n impar, a_n < 0: la izquierda sube, la derecha baja — izquierda → +∞, derecha → −∞.

Fórmula

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Para un polinomio escrito en forma estándar:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

el comportamiento final coincide con el comportamiento final de solo el término principal:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

El signo de a_n decide la cola derecha, y la paridad de n decide si la cola izquierda coincide con ella o la refleja.

Ejemplo resuelto

Toma f(x) = −2x^3 + 5x − 1. El grado es n = 3, que es impar, y el coeficiente principal es a_n = −2, que es negativo. Un grado impar con coeficiente principal negativo da una cola izquierda que sube y una cola derecha que baja. Así que cuando x → −∞, f(x) → +∞, y cuando x → +∞, f(x) → −∞. Los términos +5x y −1 no tienen ningún efecto en las colas.

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Preguntas frecuentes

¿Los términos de menor grado alguna vez cambian el comportamiento final? No. A medida que x crece sin límite, el término principal domina a todos los demás, así que solo el grado y el coeficiente principal importan para las colas.

¿Qué ocurre cuando el grado es par? Ambos extremos apuntan en la misma dirección: hacia arriba juntos cuando el coeficiente principal es positivo, y hacia abajo juntos cuando es negativo, igual que una parábola.

¿El comportamiento final me dice cuántos puntos de retorno tiene la gráfica? No. El comportamiento final solo describe las dos colas. Un polinomio de grado n tiene como máximo n − 1 puntos de retorno, pero esa es una propiedad distinta de hacia dónde van las colas.