Калькулятор поведения функции на бесконечности

Введите расчет

Degree (n)

Leading coefficient (aₙ)

Результатов

End Behavior of f(x)

As x → −∞, f(x) → −∞; as x → +∞, f(x) → +∞

odd degree, positive leading coefficient

Degree (n)	3
Leading coefficient (aₙ)	1
Degree parity	odd
Left tail — as x → −∞	f(x) → −∞
Right tail — as x → +∞	f(x) → +∞

Что делает этот калькулятор

Калькулятор поведения функции на бесконечности показывает, что происходит с выходом многочлена, когда аргумент x уходит далеко влево (x → −∞) и далеко вправо (x → +∞). Нужны всего два числа: степень многочлена и его старший коэффициент. Все члены меньшей степени не влияют на ветви графика.

Как это работает

При очень больших значениях x член старшей степени растёт быстрее, чем все члены меньшей степени вместе взятые, поэтому именно он один определяет, куда направлена каждая ветвь графика. Этот приём называется правилом старшего коэффициента. При заданных степени n и старшем коэффициенте a_n возможны четыре исхода:

• n чётное, a_n > 0: обе ветви идут вверх — влево → +∞, вправо → +∞.
• n чётное, a_n < 0: обе ветви идут вниз — влево → −∞, вправо → −∞.
• n нечётное, a_n > 0: слева вниз, справа вверх — влево → −∞, вправо → +∞.
• n нечётное, a_n < 0: слева вверх, справа вниз — влево → +∞, вправо → −∞.

Формула

Реклама

Для многочлена, записанного в стандартном виде:

$$f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_n \neq 0$$

поведение на бесконечности совпадает с поведением одного лишь старшего члена:

$$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} a_n x^n$$

Знак a_n определяет правую ветвь, а чётность n определяет, совпадает левая ветвь с правой или является её зеркальным отражением.

Разбор примера

Возьмём f(x) = −2x^3 + 5x − 1. Степень n = 3 — нечётная, а старший коэффициент a_n = −2 — отрицательный. Нечётная степень с отрицательным старшим коэффициентом даёт левую ветвь, идущую вверх, и правую ветвь, идущую вниз. Значит, при x → −∞ f(x) → +∞, а при x → +∞ f(x) → −∞. Члены +5x и −1 никак не влияют на ветви.

Реклама

Часто задаваемые вопросы

Могут ли члены меньшей степени изменить поведение на бесконечности? Нет. Когда x неограниченно растёт, старший член подавляет все остальные, поэтому для ветвей важны только степень и старший коэффициент.

Что происходит, когда степень чётная? Обе ветви направлены в одну сторону: вместе вверх при положительном старшем коэффициенте и вместе вниз при отрицательном — как у параболы.

Говорит ли поведение на бесконечности, сколько у графика точек поворота? Нет. Поведение на бесконечности описывает только две ветви. Многочлен степени n имеет не более n − 1 точек поворота, но это отдельное свойство, не связанное с тем, куда идут ветви.