Калькулятор сложной функции (f∘g)(x)

Введите расчет

f(x): a·x² + b·x + c — a

b

c

g(x): d·x² + e·x + h — d

e

h

Вычислить при x

Результатов

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

9

значение при заданном x

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

Что такое сложная функция?

Сложная функция (или композиция функций) объединяет две функции так, что результат одной подставляется в другую. Запись \((f \circ g)(x)\) читается как «f после g» и означает, что сначала вычисляется внутренняя функция g в точке x, а затем к полученному значению применяется f: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\). Порядок здесь важен — обратная композиция \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) обычно даёт совсем другой результат.

Сложная функция связывает две функции: x входит в g, затем g(x) входит в f.

Как пользоваться калькулятором

Введите коэффициенты двух квадратичных функций: \(f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c\) и \(g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\). Чтобы задать линейную функцию, например \(g(x) = 2x + 1\), установите \(d = 0\), \(e = 2\), \(h = 1\). Для постоянной функции обнулите старшие коэффициенты. Затем выберите значение x, и калькулятор выдаст \(g(x)\), \(f(g(x))\), \(f(x)\) и \(g(f(x))\), чтобы вы могли сравнить обе композиции.

Разбор формулы

Чтобы вычислить \((f \circ g)(x)\), сначала найдите внутреннее значение \(u = g(x) = d \cdot x^{2} + e \cdot x + h\). Затем подставьте u в функцию f: \(f(u) = a \cdot u^{2} + b \cdot u + c\). Таким образом, значение композиции равно

$$(f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c}$$ $$\text{where}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h}$$

В обратной композиции \((g \circ f)(x)\) роли меняются местами — внутренней функцией становится \(f(x)\).

Реклама

Порядок важен: \((f \circ g)(x)\) и \((g \circ f)(x)\), как правило, различны.

Пример с решением

Пусть \(f(x) = x^{2} + 1\) (\(a=1\), \(b=0\), \(c=1\)) и \(g(x) = 2x + 3\) (\(d=0\), \(e=2\), \(h=3\)), а точка \(x = 2\). Сначала находим

$$g(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$$

Затем

$$f(7) = 7^{2} + 1 = 50$$

Значит, \((f \circ g)(2) = 50\). Для сравнения: \(f(2) = 5\), а \((g \circ f)(2) = g(5) = 2 \cdot 5 + 3 = 13\).

Частые вопросы

Совпадает ли \((f \circ g)(x)\) с произведением \(f(x) \cdot g(x)\)? Нет. При композиции g(x) подставляется внутрь f, а при умножении перемножаются два значения — это совершенно разные операции.

Равны ли \((f \circ g)\) и \((g \circ f)\)? Только в особых случаях. В общем случае композиция функций некоммутативна.

Можно ли использовать линейные функции? Да — обнулите коэффициент при x², чтобы получить линейную или постоянную функцию.