Máy Tính Hàm Hợp (f∘g)(x)

Nhập phép tính

f(x): a·x² + b·x + c — a

b

c

g(x): d·x² + e·x + h — d

e

h

Tính tại x

Kết quả

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

9

giá trị tại x đã chọn

g(x)	3
(f ∘ g)(x) = f(g(x))	9
f(x)	4
(g ∘ f)(x) = g(f(x))	5

Hàm hợp là gì?

Hàm hợp là cách kết hợp hai hàm số bằng việc lấy kết quả của hàm này làm đầu vào cho hàm kia. Ký hiệu \((f\circ g)(x)\), đọc là "f hợp g", có nghĩa là bạn tính hàm bên trong g tại x trước, rồi mới đưa kết quả đó vào f: \((f\circ g)(x) = f(g(x))\). Thứ tự rất quan trọng — nếu hợp theo chiều ngược lại, \((g\circ f)(x) = g(f(x))\), thông thường bạn sẽ nhận được một kết quả khác hẳn.

Hàm hợp nối hai hàm: x đi vào g, rồi g(x) đi vào f.

Cách dùng máy tính này

Hãy nhập các hệ số cho hai hàm bậc hai: \(f(x) = a\cdot x^{2} + b\cdot x + c\) và \(g(x) = d\cdot x^{2} + e\cdot x + h\). Nếu muốn làm việc với một hàm bậc nhất như \(g(x) = 2x + 1\), bạn đặt \(d = 0\), \(e = 2\), \(h = 1\). Với hàm hằng, chỉ cần cho các hệ số bậc cao bằng 0. Sau đó chọn giá trị x cần tính, máy sẽ trả về g(x), f(g(x)), f(x) và g(f(x)) để bạn so sánh được cả hai chiều hợp hàm.

Giải thích công thức

Để tính \((f\circ g)(x)\):

$$\begin{gathered} (f \circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \text{a}\,g^{2} + \text{b}\,g + \text{c} \\[1.5em] \text{where}\quad g = g(x) = \text{d}\,\text{x}^{2} + \text{e}\,\text{x} + \text{h} \end{gathered}$$

đầu tiên tìm giá trị bên trong \(u = g(x) = d\cdot x^{2} + e\cdot x + h\). Tiếp theo thay u vào f: \(f(u) = a\cdot u^{2} + b\cdot u + c\). Vậy giá trị của hàm hợp chính là \(a\cdot g(x)^{2} + b\cdot g(x) + c\). Hàm hợp theo chiều ngược lại \((g\circ f)(x)\) thì đổi vai trò, lấy f(x) làm giá trị bên trong.

Quảng cáo

Thứ tự quan trọng: \((f\circ g)(x)\) và \((g\circ f)(x)\) thường khác nhau.

Ví dụ minh họa

Cho \(f(x) = x^{2} + 1\) (a=1, b=0, c=1) và \(g(x) = 2x + 3\) (d=0, e=2, h=3), tính tại \(x = 2\). Trước hết

$$g(2) = 2\cdot 2 + 3 = 7$$

Sau đó

$$f(7) = 7^{2} + 1 = 50$$

Vậy \((f\circ g)(2) = 50\). Để so sánh, \(f(2) = 5\) và \((g\circ f)(2) = g(5) = 2\cdot 5 + 3 = 13\).

Câu hỏi thường gặp

\((f\circ g)(x)\) có giống với \(f(x)\cdot g(x)\) không? Không. Hợp hàm là thay g(x) vào f, còn phép nhân là nhân hai kết quả với nhau — đây là hai phép toán hoàn toàn khác nhau.

\((f\circ g)\) có bằng \((g\circ f)\) không? Chỉ bằng trong một số trường hợp đặc biệt. Nói chung, phép hợp hàm không có tính giao hoán.

Tôi có thể dùng hàm bậc nhất không? Được — chỉ cần đặt hệ số của \(x^{2}\) bằng 0 là bạn có ngay một hàm bậc nhất hoặc hàm hằng.