Máy tính tập xác định và tập giá trị là gì?
Công cụ này xác định tập xác định (toàn bộ các giá trị x hợp lệ làm biến đầu vào) và tập giá trị (toàn bộ các giá trị y có thể có ở đầu ra) cho bốn nhóm hàm số quen thuộc: hàm bậc nhất, hàm bậc hai, hàm phân thức và hàm căn thức. Kết quả được trình bày theo ký hiệu khoảng và ký hiệu tập hợp chuẩn.
Cách sử dụng
Chọn dạng hàm số trong danh sách thả xuống, rồi nhập các hệ số tương ứng. Với hàm bậc hai \(a\,x^{2} + b\,x + c\), bạn nhập a, b và c. Với hàm phân thức \(\frac{a}{x - h}\) hoặc hàm căn thức \(\sqrt{x - h}\), bạn chỉ cần nhập h. Những ô không dùng đến có thể để giá trị bằng 0.
Giải thích các công thức
Hàm bậc nhất (a ≠ 0) có cả tập xác định lẫn tập giá trị là toàn bộ số thực.
$$f(x) = a\,x + b \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = (-\infty, \infty)$$Hàm bậc hai có tập xác định là mọi số thực; tập giá trị của nó bị giới hạn bởi giá trị y tại đỉnh \(y_{v} = c - \frac{b^{2}}{4a}\), cho ra \([y_{v}, \infty)\) khi a > 0 và \((-\infty, y_{v}]\) khi a < 0.
$$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = \left[\,c - \frac{b^{2}}{4\,a},\; \infty\right)$$Hàm phân thức \(\frac{a}{x - h}\) loại bỏ x = h khỏi tập xác định và loại bỏ y = 0 khỏi tập giá trị.
$$f(x) = \frac{a}{x - h} \;\Rightarrow\; \text{Domain} = \{\,x \neq h\,\},\quad \text{Range} = \{\,y \neq 0\,\}$$Hàm căn thức \(\sqrt{x - h}\) yêu cầu x − h ≥ 0, nên tập xác định là \([h, \infty)\) và tập giá trị là \([0, \infty)\).
$$f(x) = \sqrt{\,x - h\,} \;\Rightarrow\; \text{Domain} = \left[\,h,\; \infty\right),\quad \text{Range} = [\,0,\; \infty)$$
Ví dụ minh họa
Với hàm bậc hai \(x^{2} - 4x + 3\) ta có a = 1, b = −4, c = 3. Giá trị y tại đỉnh là
$$3 - \frac{(-4)^{2}}{4\cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$Vì a > 0 nên tập giá trị là \([-1, \infty)\) còn tập xác định là toàn bộ số thực.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao tập xác định của hàm bậc hai luôn là mọi số thực? Vì đa thức được xác định với mọi giá trị đầu vào, nên không có ràng buộc nào cả.
Điều gì giới hạn tập xác định của hàm phân thức? Bất kỳ giá trị x nào làm mẫu số bằng 0 đều bị loại, vì phép chia cho 0 không xác định.
Tập giá trị của hàm căn thức có thể âm không? Không — căn bậc hai số học luôn ≥ 0, nên tập giá trị bắt đầu từ 0.
