정의역·치역 계산기란?
이 도구는 일차함수, 이차함수, 유리함수, 제곱근함수 등 자주 등장하는 네 가지 함수의 정의역(함수에 넣을 수 있는 모든 x값)과 치역(함수가 가질 수 있는 모든 y값)을 구해 줍니다. 결과는 표준 구간 표기와 집합 표기로 제공됩니다.
사용 방법
먼저 드롭다운에서 함수 유형을 고른 다음, 해당하는 계수를 입력하세요. 이차함수 \(a\,x^{2} + b\,x + c\)라면 a, b, c를 입력합니다. 유리함수 \(\frac{a}{x - h}\)나 제곱근함수 \(\sqrt{x - h}\)의 경우에는 h만 입력하면 됩니다. 사용하지 않는 칸은 0으로 두어도 괜찮습니다.
공식 한눈에 보기
일차함수(\(a \neq 0\))는 정의역과 치역이 모두 실수 전체입니다. 이차함수는 정의역이 실수 전체이며, 치역은 꼭짓점의 y값 \(y_{v} = c - \frac{b^{2}}{4a}\)를 기준으로 정해집니다. \(a > 0\)이면 \([y_{v}, \infty)\), \(a < 0\)이면 \((-\infty, y_{v}]\)가 됩니다. 유리함수 \(\frac{a}{x - h}\)는 정의역에서 \(x = h\)를, 치역에서 \(y = 0\)을 제외합니다. 제곱근함수 \(\sqrt{x - h}\)는 \(x - h \geq 0\)이어야 하므로 정의역은 \([h, \infty)\), 치역은 \([0, \infty)\)입니다.
$$f(x) = a\,x^{2} + b\,x + c \;\Rightarrow\; \text{Domain} = (-\infty, \infty),\quad \text{Range} = \left[\,c - \frac{b^{2}}{4\,a},\; \infty\right)$$
예제 풀이
이차함수 \(x^{2} - 4x + 3\)의 경우 \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\)입니다. 꼭짓점의 y값은 다음과 같이 구합니다.
$$3 - \frac{(-4)^{2}}{4 \cdot 1} = 3 - \frac{16}{4} = 3 - 4 = -1$$\(a > 0\)이므로 치역은 \([-1, \infty)\)이고, 정의역은 실수 전체입니다.
자주 묻는 질문
이차함수의 정의역은 왜 항상 실수 전체인가요? 다항함수는 어떤 값을 넣어도 계산이 되기 때문에 제한 조건이 없습니다.
유리함수의 정의역은 무엇 때문에 제한되나요? 분모를 0으로 만드는 x값은 0으로 나눌 수 없으므로 제외됩니다.
제곱근함수의 치역이 음수가 될 수 있나요? 아니요. 양의 제곱근은 항상 0 이상이므로 치역은 0부터 시작합니다.
