포물선 사거리 계산기란?
이 계산기는 공기 저항이 없는 평탄한 지면에서 발사된 물체(포물체)의 수평 사거리를 계산합니다. 초기 속도, 발사 각도, 중력 가속도만 입력하면 물체가 얼마나 멀리 날아가는지, 얼마나 높이 올라가는지, 그리고 공중에 얼마나 머무는지를 한 번에 알려줍니다. 물리학을 배우는 학생부터 엔지니어, 이상적인 탄도 운동을 모델링하려는 분까지 폭넓게 활용할 수 있는 고전적인 물리 도구입니다.
사용 방법
초기 속도를 미터/초(m/s) 단위로, 발사 각도를 0~90도 범위로, 그리고 중력 가속도를 입력하세요(지구는 9.81 m/s²이며, 달이나 화성 등 다른 천체를 가정한다면 값을 바꿔 입력하면 됩니다). 계산 버튼을 누르면 사거리, 최고 높이, 총 체공 시간이 표시됩니다.
공식 풀이
사거리 공식은 다음과 같습니다.
$$R = \frac{v^{2}\,\sin(2\theta)}{g}$$여기서 \(\sin(2\theta)\) 항은 \(\theta = 45°\)일 때 최댓값 1에 도달하는데, 진공 상태에서 45°로 발사할 때 가장 멀리 날아가는 이유가 바로 이것입니다. 최대 높이는 속도의 수직 성분으로부터 구하며
$$H = \frac{v^{2}\,\sin^{2}\theta}{2g}$$총 체공 시간은 다음과 같습니다.
$$T = \frac{2v\,\sin\theta}{g}$$이 모든 식은 발사 지점과 착지 지점의 높이가 같고 공기 저항을 무시할 수 있다는 가정에 기반합니다.
계산 예시
\(v = 20 \text{ m/s}\), \(\theta = 45°\), \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\)로 발사한다고 가정해 봅시다. \(\sin(90°) = 1\)이므로
$$R = \frac{20^{2} \times 1}{9.81} = \frac{400}{9.81} \approx 40.77 \text{ m}$$가 됩니다. 최대 높이는
$$H = \frac{400 \times \sin^{2}(45°)}{2 \times 9.81} = \frac{400 \times 0.5}{19.62} \approx 10.19 \text{ m}$$체공 시간은 다음과 같습니다.
$$T = \frac{2 \times 20 \times \sin(45°)}{9.81} \approx \frac{28.28}{9.81} \approx 2.883 \text{ s}$$자주 묻는 질문
어느 각도에서 사거리가 가장 길까요? 공기 저항이 없는 평지에서는 \(\sin(2\theta)\)가 최댓값을 갖는 45°에서 사거리가 가장 길어집니다.
공기 저항도 반영되나요? 아니요. 이 계산기는 진공 상태를 가정한 이상적인 모델입니다. 실제로는 공기 저항(항력) 때문에 사거리가 더 짧아집니다.
다른 행성에서도 사용할 수 있나요? 네, 중력 값만 바꿔 주면 됩니다(예: 달은 1.62, 화성은 3.71).
