최고 높이와 사거리로 구하는 포물선 운동 계산기

계산 입력

최고 높이 h (m)

수평 거리(사거리) l (m)

중력 가속도 g (m/s²)

공식

Show calculation steps (2)

1. Launch Angle

   

   Launch angle above horizontal from peak height h and range l.

2. Time of Flight

   

   Total flight time = twice the rise time to the peak height h.

결과

초기 발사 속도

33.73

초당 미터(m/s)

초기 속도 v	121.42 km/h
Launch angle θ	68.2°
체공 시간 t	6.387 s

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 포물선 운동의 궤적 모양을 거꾸로 분석합니다. 물체가 도달한 최고 높이(최대 높이 h)와 수평으로 날아간 거리(사거리 l)만 알면, 초기 발사 속도와 발사 각도, 그리고 전체 체공 시간을 구할 수 있습니다. 공기 저항이 없고, 발사 지점과 착지 지점의 높이가 같다고 가정하므로 궤적은 좌우 대칭인 포물선이 됩니다.

최고 높이 h, 사거리 l, 발사각 theta로 정의되는 발사체의 포물선 궤도.

사용 방법

최고 높이(m), 수평 사거리(m), 그리고 중력 가속도(기본값은 표준 중력 9.80665 m/s²)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 필요한 초기 속도가 m/s와 km/h 두 단위로 표시되고, 수평면을 기준으로 측정한 발사 각도와 물체가 공중에 머무는 시간이 나타납니다. 사거리를 0 m로 설정하면 순수한 수직 발사(각도 = 90°)를 모델링할 수 있습니다.

공식 풀이

포물선의 정점에서는 수직 속도가 0이 됩니다. 따라서 최고 높이가 초기 수직 속도를 결정합니다: \(v_y = \sqrt{2gh}\). 정점까지 올라가는 데 걸리는 시간은 \(\sqrt{2h/g}\)이며, 전체 체공 시간은 그 두 배입니다: $$t = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$$ 수평 방향 운동은 등속이므로 \(v_x = \dfrac{l}{2\sqrt{2h/g}}\)가 됩니다. 발사 속도는 두 성분을 합친 벡터 크기 \(v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}\)이고, 수평면 위쪽으로의 각도는 \(\theta = \arctan(4h/l)\)입니다(이 비율에서는 중력 항이 서로 약분되어 사라집니다).

수평 성분 v_x와 수직 성분 v_y의 합으로 나타낸 발사 속도 v.

계산 예시

h = 50 m, l = 80 m, g = 9.80665 m/s²인 경우: \(v_y = \sqrt{2\times 9.80665\times 50} = 31.316\) m/s입니다. 체공 시간은 $$t = 2\sqrt{\frac{100}{9.80665}} = 6.387 \text{ s}$$ 수평 속도는 \(v_x = 80 / 6.387 = 12.526\) m/s입니다. 따라서 \(v = \sqrt{12.526^{2} + 31.316^{2}} = 33.73\) m/s(약 121.4 km/h)이고, \(\theta = \arctan(200/80) = \arctan(2.5) = 68.20\degree\)가 됩니다.

자주 묻는 질문

공기 저항이 반영되나요? 아니요. 진공 상태의 이상적인 포물선 운동을 사용합니다. 밀도가 높은 물체가 비교적 느린 속도로 움직일 때 잘 들어맞습니다.

발사 지점과 착지 지점의 높이가 다르면 어떻게 되나요? 대칭 모델은 두 지점의 높이가 같다고 가정합니다. 높이가 서로 다르면 시간과 사거리의 관계가 달라지므로 이 공식을 그대로 적용할 수 없습니다.

왜 각도 계산에서는 중력이 무시되나요? \(\tan\theta = v_y/v_x\)가 \(4h/l\)로 정리되면서 g가 약분되기 때문입니다. 중력은 여전히 속도와 체공 시간에는 영향을 주지만, 각도에는 영향을 주지 않습니다.