고저차가 있는 포물선 운동 (목표 높이와 거리)

계산 입력

도달 높이 h (m)

도달 거리 l (m)

발사 높이 h0 (m)

Gravity g (m/s²)

참고: 목표물(도달 지점)이 발사 지점보다 더 높다면, 발사 높이 h0를 음수로 입력하세요.

결과

초기 속도 Vs (최소 속도 궤적)

36.305

m/s

초기 속도 Vs	130.7 km/h
Launch angle θ	53.35 °
비행(체공) 시간 t	4.614 s

이 계산기의 기능

이 도구는 고전 역학의 대표적인 포물선 문제를 풉니다. 즉, 공기 저항이 없는 상태에서 발사된 물체가 수평으로 l만큼 떨어지고 높이가 h인 목표물에 도달해야 하며, 발사 지점의 높이는 h0입니다. 같은 지점을 맞히는 속도·각도 조합은 무수히 많기 때문에, 이 계산기는 최소 발사속도 궤적을 결과로 돌려줍니다. 이는 목표물에 가까스로 도달하는, 에너지가 가장 작은 표준적인 해입니다. 결과로는 필요한 초기 속도(m/s 및 km/h), 발사각, 그리고 비행 시간(체공 시간)을 제공합니다. 이 물리 법칙은 보편적이어서 특정 국가에 국한되지 않습니다.

발사체는 속도 V와 각도 theta로 발사되어 수평 거리 l, 높이 h의 표적에 도달합니다.

사용 방법

도달 높이 h, 수평 거리 l(반드시 0보다 커야 함), 발사 높이 h0를 입력하세요. 발사 지점을 기준으로 한 목표물의 수직 상승량은 \(y = h - h_0\)입니다. 이 모델의 부호 규칙에 따라, 목표물이 발사 지점보다 더 높다면 h0를 음수로 입력해야 합니다. 그래야 필요한 상승량이 올바르게 커집니다. 중력 g의 기본값은 표준 중력 가속도 9.80665 m/s²이지만 수정할 수 있습니다(예: 달의 경우 1.62).

공식 풀이

점 (x, y)를 지나는 궤적은 다음과 같이 표현됩니다.

$$y = x\cdot\tan\theta - \frac{g\cdot x^{2}}{2\cdot V_s^{2}\cdot\cos^{2}\theta}$$

발사속도를 최소화하면 다음과 같은 닫힌 형태의 해를 얻습니다.

$$V_s = \sqrt{g\cdot(y + \sqrt{x^{2}+y^{2}})} \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}\right)$$

이 각도는 수직선과 목표물을 향한 직선을 정확히 이등분합니다.

$$\theta = 45^\circ + \tfrac{1}{2}\cdot\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)$$

비행 시간은 수평 속도가 일정하다는 점에서 \(t = \frac{x}{V_s\cdot\cos\theta}\)로 구합니다.

발사 속도 V는 수평 성분(V cos theta)과 수직 성분(V sin theta)으로 분해됩니다.

계산 예시

h = 50 m, l = 100 m, h0 = 20 m, g = 9.80665인 경우: \(y = 30\ \text{m}\), \(x = 100\ \text{m}\), \(r = \sqrt{10000+900} = 104.403\ \text{m}\). 따라서

$$V_s = \sqrt{9.80665\times134.403} = 36.307\ \text{m/s} = 130.7\ \text{km/h}$$$$\theta = \arctan(1.34403) = 53.35^\circ$$$$t = \frac{100}{36.307\times\cos 53.35^\circ} = 4.62\ \text{s}$$

자주 묻는 질문

왜 최소 속도인가요? 하나의 목표물은 여러 궤적으로 맞힐 수 있습니다. 최소 속도 해는 이런 종류의 도구가 제시하는 유일하고 물리적으로 가장 자연스러운 답입니다.

목표물이 발사 지점보다 높으면 어떻게 하나요? h0를 음수로 입력하면 \(y = h - h_0\)가 커져 모델의 부호 규칙과 일치합니다.

공기 저항도 포함되나요? 아니요. 이 계산은 균일한 중력만 작용하는 이상적인 포물선 운동입니다.