ऊँचाई के अंतर के साथ प्रक्षेप्य गति (लक्ष्य की ऊँचाई और दूरी)

गणना दर्ज करें

लक्ष्य की ऊँचाई h (m)

क्षैतिज दूरी l (m)

प्रक्षेपण ऊँचाई h0 (m)

Gravity g (m/s²)

सुझाव: यदि लक्ष्य (पहुँचने का बिंदु) प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचा है, तो प्रक्षेपण ऊँचाई h0 को ऋणात्मक (NEGATIVE) मान के रूप में दर्ज करें।

परिणाम

प्रारंभिक वेग Vs (न्यूनतम-वेग वाला पथ)

36.305

m/s

प्रारंभिक वेग Vs	130.7 km/h
Launch angle θ	53.35 °
उड़ान (हवा में रहने का) समय t	4.614 s

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल भौतिकी की एक क्लासिक प्रक्षेप्य (projectile) समस्या को हल करता है: किसी वस्तु को (वायु प्रतिरोध के बिना) इस तरह फेंका जाता है कि वह क्षैतिज दूरी l और ऊँचाई h पर स्थित लक्ष्य तक पहुँचे, जबकि प्रक्षेपण बिंदु स्वयं ऊँचाई h0 पर हो। चूँकि एक ही बिंदु पर वार करने के लिए वेग और कोण के अनगिनत जोड़े संभव हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर न्यूनतम प्रक्षेपण-वेग वाला पथ लौटाता है — यानी वह मानक, सबसे कम ऊर्जा वाला हल जो लक्ष्य तक बस पहुँच पाता है। यह आवश्यक प्रारंभिक वेग (m/s और km/h दोनों में), प्रक्षेपण कोण, और उड़ान (हवा में रहने का) समय बताता है। यह भौतिकी सार्वभौमिक है और किसी देश विशेष से बंधी नहीं है।

प्रक्षेप्य को गति V और कोण theta पर छोड़ा जाता है ताकि क्षैतिज दूरी l और ऊँचाई h पर लक्ष्य तक पहुँचे।

इसका उपयोग कैसे करें

लक्ष्य पर पहुँचने की ऊँचाई h, क्षैतिज दूरी l (जो 0 से अधिक होनी चाहिए), और प्रक्षेपण ऊँचाई h0 दर्ज करें। प्रक्षेपण बिंदु की तुलना में लक्ष्य की ऊर्ध्वाधर बढ़त \(y = h - h_0\) होती है। इस मॉडल की परिपाटी के अनुसार, यदि लक्ष्य प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचा है तो h0 को ऋणात्मक (नेगेटिव) संख्या के रूप में दर्ज करें — इससे आवश्यक ऊर्ध्वाधर बढ़त सही ढंग से बढ़ जाती है। गुरुत्व g का डिफ़ॉल्ट मान मानक गुरुत्व 9.80665 m/s² है, पर इसे बदला जा सकता है (उदाहरण के लिए चंद्रमा के लिए 1.62)।

सूत्र की व्याख्या

बिंदु \((x, y)\) से गुज़रने वाला पथ इस प्रकार होता है: $$y = x\cdot\tan\theta - \frac{g\cdot x^{2}}{2\cdot V_s^{2}\cdot\cos^{2}\theta}$$ प्रक्षेपण वेग को न्यूनतम करने पर हमें बंद रूप (closed form) हल मिलता है: $$V_s = \sqrt{g\cdot\left(y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)} \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{y + \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}\right)$$ यह कोण सुविधाजनक रूप से ऊर्ध्वाधर रेखा और लक्ष्य तक जाने वाली सीधी रेखा को आधे में बाँटता है: $$\theta = 45^\circ + \tfrac12\cdot\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)$$ उड़ान समय स्थिर क्षैतिज वेग से प्राप्त होता है: $$t = \frac{x}{V_s\cdot\cos\theta}$$

प्रक्षेपण वेग V क्षैतिज (V cos theta) और ऊर्ध्वाधर (V sin theta) घटकों में बँट जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(h = 50\,\text{m}\), \(l = 100\,\text{m}\), \(h_0 = 20\,\text{m}\), \(g = 9.80665\): तब \(y = 30\,\text{m}\), \(x = 100\,\text{m}\), \(r = \sqrt{10000+900} = 104.403\,\text{m}\)। इससे $$V_s = \sqrt{9.80665\times134.403} = 36.307\,\text{m/s} = 130.7\,\text{km/h}$$ $$\theta = \arctan(1.34403) = 53.35^\circ$$ $$t = \frac{100}{36.307\times\cos 53.35^\circ} = 4.62\,\text{s}$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

न्यूनतम वेग ही क्यों? एक लक्ष्य को कई अलग-अलग पथों से भेदा जा सकता है; न्यूनतम-वेग वाला हल वह अनूठा और भौतिक रूप से स्वाभाविक उत्तर है जो इस तरह के टूल बताते हैं।

यदि लक्ष्य प्रक्षेपक से ऊँचा हो तो? h0 को ऋणात्मक दर्ज करें ताकि \(y = h - h_0\) बढ़ जाए, जो मॉडल के चिह्न (sign) नियम से मेल खाता है।

क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं — यह केवल समान गुरुत्व के अंतर्गत आदर्श प्रक्षेप्य गति है।