यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आदर्श प्रक्षेप्य गति का मॉडल बनाता है: ज़मीन के स्तर से किसी दिए गए प्रारंभिक वेग और कोण पर छोड़ी गई वस्तु, जो स्थिर गुरुत्वाकर्षण के अधीन बिना किसी वायु प्रतिरोध के गति करती है। यह प्रक्षेप पथ — यानी ऊँचाई और क्षैतिज दूरी — को समय के क्रम में (या क्षैतिज दूरियों के क्रम में) तालिका के रूप में दिखाता है और मुख्य राशियाँ बताता है: उड़ान समय, अधिकतम ऊँचाई और अधिकतम परास। यह भौतिकी सार्वभौमिक न्यूटनी यांत्रिकी है, जो हर जगह एक समान रहती है।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रारंभिक वेग \(v\) दर्ज करें और इसकी इकाई चुनें (m/s या km/h)। प्रक्षेपण कोण \(\theta\) डिग्री में निर्धारित करें (0 से 90) और गुरुत्वीय त्वरण \(g\) चुनें (पृथ्वी के मानक गुरुत्व के लिए डिफ़ॉल्ट 9.80665 m/s²)। फिर तय करें कि किस चर के आधार पर तालिका बने: समय चुनने पर पंक्तियाँ \(t = \text{प्रारंभ} + n \times \text{वृद्धि}\) पर बनती हैं, जबकि दूरी चुनने पर पंक्तियाँ \(l = \text{प्रारंभ} + n \times \text{वृद्धि}\) पर बनती हैं और हर दूरी पर समय व ऊँचाई हल की जाती है। तालिका की बारीकी को नियंत्रित करने के लिए प्रारंभिक मान, वृद्धि और दोहराव की संख्या समायोजित करें।
सूत्र की व्याख्या
प्रक्षेपण वेग दो घटकों में बँट जाता है — एक क्षैतिज घटक \(v_x = v\cdot\cos\theta\) और एक ऊर्ध्वाधर घटक \(v_y = v\cdot\sin\theta\)। क्षैतिज गति एकसमान होती है, \(l(t) = v_x\cdot t\), जबकि ऊर्ध्वाधर गति एकसमान रूप से मंद होती है, \(h(t) = v_y\cdot t - \tfrac{1}{2}g\cdot t^{2}\)। समय को हटा देने पर परवलय मिलता है $$h(l) = l\cdot\tan\theta - \frac{g\cdot l^{2}}{2v^{2}\cos^{2}\theta}$$ प्रक्षेप्य \(T = 2v\cdot\sin\theta/g\) समय बाद अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर लौट आता है, \(H = v^{2}\sin^{2}\theta/(2g)\) पर शिखर बनाता है, और \(R = v^{2}\sin(2\theta)/g\) की दूरी पर गिरता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(v = 30\ \text{m/s}\), \(\theta = 60^\circ\) और \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\): तब \(v_x = 15\ \text{m/s}\) और \(v_y = 25.98\ \text{m/s}\)। \(t = 0.1\ \text{s}\) पर वस्तु \(l = 1.5\ \text{m}\) और \(h = 2.549\ \text{m}\) पर होती है। उड़ान समय $$T = \frac{2\times25.98}{9.80665} = 5.299\ \text{s}$$ है, अधिकतम ऊँचाई $$H = \frac{25.98^{2}}{2\times9.80665} = 34.41\ \text{m}$$ है, और अधिकतम परास $$R = \frac{900\times\sin(120^\circ)}{9.80665} = 79.48\ \text{m}$$ है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं। यह निर्वात (खिंचाव-रहित) प्रक्षेप्य मानता है, इसलिए वास्तविक दुनिया में परास आमतौर पर इससे कम होता है।
\(\theta = 90^\circ\) पर क्या होता है? वस्तु सीधे ऊपर जाती है: \(v_x = 0\), इसलिए क्षैतिज दूरी 0 ही रहती है। दूरी-आधारित मोड में यह कभी किसी शून्येतर दूरी तक नहीं पहुँचती, इसलिए ऊँचाइयाँ 0 दिखाई जाती हैं।
कुछ ऊँचाइयाँ ऋणात्मक क्यों हो जाती हैं? उड़ान समय के बाद प्रक्षेप्य प्रक्षेपण स्तर से नीचे गिर चुका होता है; तालिका उसके नीचे आते जाने के साथ उन मानों को सूचीबद्ध करती रहती है।
