प्रक्षेप्य गति प्रक्षेप पथ कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

प्रारंभिक वेग v

m/s km/h

Launch angle θ (degrees)

Gravitational acceleration g (m/s²)

चर Time t (s) Distance l (m)

समय t (s) प्रारंभिक मान

समय वृद्धि (s)

समय दोहराव संख्या

दूरी l (m) प्रारंभिक मान

दूरी वृद्धि (m)

दूरी दोहराव संख्या

परिणाम

अधिकतम ऊँचाई

34.42

मीटर

उड़ान समय

5.299 s

अधिकतम परास

79.48 m

vx / vy

15 / 25.98 m/s

समय t (s)	दूरी l (m)	ऊँचाई h (m)	वेग (m/s)
0	0	0	30
0.1	1.5	2.549	29.155
0.2	3	5	28.318
0.3	4.5	7.353	27.492
0.4	6	9.608	26.675
0.5	7.5	11.765	25.87
0.6	9	13.823	25.077
0.7	10.5	15.784	24.299
0.8	12	17.646	23.535
0.9	13.5	19.411	22.788
1	15	21.077	22.059
1.1	16.5	22.646	21.35
1.2	18	24.116	20.664
1.3	19.5	25.488	20.002
1.4	21	26.763	19.367
1.5	22.5	27.939	18.762
1.6	24	29.017	18.19
1.7	25.5	29.997	17.654
1.8	27	30.879	17.157
1.9	28.5	31.662	16.703
2	30	32.348	16.296
2.1	31.5	32.936	15.938
2.2	33	33.426	15.634
2.3	34.5	33.817	15.386
2.4	36	34.111	15.198
2.5	37.5	34.306	15.071
2.6	39	34.404	15.008
2.7	40.5	34.403	15.008
2.8	42	34.304	15.073
2.9	43.5	34.107	15.2
3	45	33.812	15.389
3.1	46.5	33.419	15.638
3.2	48	32.928	15.943
3.3	49.5	32.339	16.301
3.4	51	31.652	16.709
3.5	52.5	30.867	17.164
3.6	54	29.984	17.661
3.7	55.5	29.002	18.198
3.8	57	27.923	18.771
3.9	58.5	26.745	19.376
4	60	25.47	20.011
4.1	61.5	24.096	20.673
4.2	63	22.625	21.36
4.3	64.5	21.055	22.069
4.4	66	19.387	22.798
4.5	67.5	17.621	23.546
4.6	69	15.757	24.309
4.7	70.5	13.795	25.088
4.8	72	11.735	25.881
4.9	73.5	9.577	26.686
5	75	7.321	27.503
5.1	76.5	4.966	28.33
5.2	78	2.514	29.167
5.3	79.5	-0.036	30.012
5.4	81	-2.685	30.865
5.5	82.5	-5.431	31.726
5.6	84	-8.276	32.593
5.7	85.5	-11.219	33.467
5.8	87	-14.259	34.346
5.9	88.5	-17.398	35.231

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आदर्श प्रक्षेप्य गति का मॉडल बनाता है: ज़मीन के स्तर से किसी दिए गए प्रारंभिक वेग और कोण पर छोड़ी गई वस्तु, जो स्थिर गुरुत्वाकर्षण के अधीन बिना किसी वायु प्रतिरोध के गति करती है। यह प्रक्षेप पथ — यानी ऊँचाई और क्षैतिज दूरी — को समय के क्रम में (या क्षैतिज दूरियों के क्रम में) तालिका के रूप में दिखाता है और मुख्य राशियाँ बताता है: उड़ान समय, अधिकतम ऊँचाई और अधिकतम परास। यह भौतिकी सार्वभौमिक न्यूटनी यांत्रिकी है, जो हर जगह एक समान रहती है।

इसका उपयोग कैसे करें

प्रारंभिक वेग \(v\) दर्ज करें और इसकी इकाई चुनें (m/s या km/h)। प्रक्षेपण कोण \(\theta\) डिग्री में निर्धारित करें (0 से 90) और गुरुत्वीय त्वरण \(g\) चुनें (पृथ्वी के मानक गुरुत्व के लिए डिफ़ॉल्ट 9.80665 m/s²)। फिर तय करें कि किस चर के आधार पर तालिका बने: समय चुनने पर पंक्तियाँ \(t = \text{प्रारंभ} + n \times \text{वृद्धि}\) पर बनती हैं, जबकि दूरी चुनने पर पंक्तियाँ \(l = \text{प्रारंभ} + n \times \text{वृद्धि}\) पर बनती हैं और हर दूरी पर समय व ऊँचाई हल की जाती है। तालिका की बारीकी को नियंत्रित करने के लिए प्रारंभिक मान, वृद्धि और दोहराव की संख्या समायोजित करें।

सूत्र की व्याख्या

प्रक्षेपण वेग दो घटकों में बँट जाता है — एक क्षैतिज घटक \(v_x = v\cdot\cos\theta\) और एक ऊर्ध्वाधर घटक \(v_y = v\cdot\sin\theta\)। क्षैतिज गति एकसमान होती है, \(l(t) = v_x\cdot t\), जबकि ऊर्ध्वाधर गति एकसमान रूप से मंद होती है, \(h(t) = v_y\cdot t - \tfrac{1}{2}g\cdot t^{2}\)। समय को हटा देने पर परवलय मिलता है $$h(l) = l\cdot\tan\theta - \frac{g\cdot l^{2}}{2v^{2}\cos^{2}\theta}$$ प्रक्षेप्य \(T = 2v\cdot\sin\theta/g\) समय बाद अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर लौट आता है, \(H = v^{2}\sin^{2}\theta/(2g)\) पर शिखर बनाता है, और \(R = v^{2}\sin(2\theta)/g\) की दूरी पर गिरता है।

प्रक्षेपण वेग v को क्षैतिज (v cosθ) और ऊर्ध्वाधर (v sinθ) घटकों में विभाजित किया गया।

प्रक्षेप्य का पथ जिसमें प्रक्षेपण कोण θ, प्रारंभिक चाल v, अधिकतम ऊँचाई और कुल परास दर्शाया गया है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(v = 30\ \text{m/s}\), \(\theta = 60^\circ\) और \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\): तब \(v_x = 15\ \text{m/s}\) और \(v_y = 25.98\ \text{m/s}\)। \(t = 0.1\ \text{s}\) पर वस्तु \(l = 1.5\ \text{m}\) और \(h = 2.549\ \text{m}\) पर होती है। उड़ान समय $$T = \frac{2\times25.98}{9.80665} = 5.299\ \text{s}$$ है, अधिकतम ऊँचाई $$H = \frac{25.98^{2}}{2\times9.80665} = 34.41\ \text{m}$$ है, और अधिकतम परास $$R = \frac{900\times\sin(120^\circ)}{9.80665} = 79.48\ \text{m}$$ है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं। यह निर्वात (खिंचाव-रहित) प्रक्षेप्य मानता है, इसलिए वास्तविक दुनिया में परास आमतौर पर इससे कम होता है।

\(\theta = 90^\circ\) पर क्या होता है? वस्तु सीधे ऊपर जाती है: \(v_x = 0\), इसलिए क्षैतिज दूरी 0 ही रहती है। दूरी-आधारित मोड में यह कभी किसी शून्येतर दूरी तक नहीं पहुँचती, इसलिए ऊँचाइयाँ 0 दिखाई जाती हैं।

कुछ ऊँचाइयाँ ऋणात्मक क्यों हो जाती हैं? उड़ान समय के बाद प्रक्षेप्य प्रक्षेपण स्तर से नीचे गिर चुका होता है; तालिका उसके नीचे आते जाने के साथ उन मानों को सूचीबद्ध करती रहती है।