शिखर ऊँचाई और परास से प्रक्षेप्य गति कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

शिखर ऊँचाई h (m)

क्षैतिज दूरी (परास) l (m)

गुरुत्वीय त्वरण g (m/s²)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Launch Angle

   

   Launch angle above horizontal from peak height h and range l.

2. Time of Flight

   

   Total flight time = twice the rise time to the peak height h.

परिणाम

प्रारंभिक प्रक्षेपण वेग

33.73

मीटर प्रति सेकंड

प्रारंभिक वेग v	121.42 km/h
Launch angle θ	68.2°
उड़ान समय t	6.387 s

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी प्रक्षेप्य (projectile) के उड़ान-पथ की आकृति से उल्टी दिशा में काम करता है। अगर आपको पता है कि वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचा (अधिकतम ऊँचाई h) और क्षैतिज दिशा में कितनी दूर तक गया (परास l), तो यह आपको प्रारंभिक प्रक्षेपण वेग, प्रक्षेपण कोण और कुल उड़ान समय बता देता है। इसमें यह माना गया है कि वायु प्रतिरोध नहीं है और प्रक्षेपण व लैंडिंग बिंदु एक ही ऊँचाई पर हैं, इसलिए पथ एक सममित (symmetric) परवलय बनता है।

प्रक्षेप्य का परवलयिक पथ, जो शिखर ऊँचाई h, परास l और प्रक्षेपण कोण theta से परिभाषित होता है।

इसका उपयोग कैसे करें

शिखर ऊँचाई मीटर में, क्षैतिज परास मीटर में और गुरुत्वीय त्वरण (डिफ़ॉल्ट मानक गुरुत्व 9.80665 m/s² है) दर्ज करें। "गणना करें" दबाते ही आपको आवश्यक प्रारंभिक वेग m/s और km/h दोनों में, क्षैतिज से मापा गया प्रक्षेपण कोण, और वस्तु के हवा में रहने का समय मिल जाएगा। यदि आप एकदम सीधा ऊपर की ओर (vertical) प्रक्षेपण देखना चाहते हैं तो परास को 0 m रखें (कोण = 90°)।

सूत्र की व्याख्या

शिखर पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है, इसलिए शिखर ऊँचाई से प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग तय हो जाता है: \(v_y = \sqrt{2gh}\)। शिखर तक पहुँचने में लगने वाला समय \(\sqrt{2h/g}\) होता है, और पूरी उड़ान इसका दोगुना समय लेती है: $$t = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$$ क्षैतिज गति स्थिर वेग से होती है, इसलिए \(v_x = \dfrac{l}{2\sqrt{2h/g}}\)। प्रक्षेपण वेग इन दोनों का सदिश योग है: $$v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}$$ और क्षैतिज से ऊपर का कोण है \(\theta = \arctan(4h/l)\) (इस अनुपात में गुरुत्व के पद आपस में कट जाते हैं)।

प्रक्षेपण चाल v, क्षैतिज घटक v_x और ऊर्ध्वाधर घटक v_y के परिणामी के रूप में।

हल किया गया उदाहरण

मान लें h = 50 m, l = 80 m, g = 9.80665 m/s²: तब \(v_y = \sqrt{2\times 9.80665\times 50} = 31.316\) m/s। उड़ान समय \(t = 2\sqrt{100/9.80665} = 6.387\) s। क्षैतिज वेग \(v_x = 80 / 6.387 = 12.526\) m/s। इसलिए \(v = \sqrt{12.526^{2} + 31.316^{2}} = 33.73\) m/s (लगभग 121.4 km/h), और \(\theta = \arctan(200/80) = \arctan(2.5) = 68.20\degree\)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं। यह निर्वात में आदर्श प्रक्षेप्य गति का उपयोग करता है, जो मध्यम गति पर सघन (भारी, ठोस) वस्तुओं के लिए काफी सटीक होती है।

अगर प्रक्षेपण और लैंडिंग की ऊँचाई अलग-अलग हो तो? सममित मॉडल दोनों ऊँचाइयों के समान होने की कल्पना करता है। अलग-अलग ऊँचाई होने पर समय और परास के संबंध बदल जाते हैं और ये सूत्र सीधे लागू नहीं होते।

कोण की गणना में गुरुत्व क्यों नहीं आता? क्योंकि \(\tan\theta = v_y/v_x\) सरल होकर \(4h/l\) बन जाता है, जिसमें g कट जाता है। गुरुत्व अब भी वेग और उड़ान समय को प्रभावित करता है — बस कोण को नहीं।