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परिणाम

प्रारंभिक प्रक्षेपण वेग v

36.16

m/s

प्रारंभिक वेग	130.176 km/h
उड़ान समय t	6.387 s
परास (क्षैतिज दूरी) l	115.47 m

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी ऐसी वस्तु के लिए परवलयाकार (प्रक्षेप्य) गति की क्लासिक समस्या हल करता है, जिसे ज़मीन से एक निश्चित कोण पर फेंका जाता है और जो किसी ज्ञात अधिकतम (शिखर) ऊँचाई तक पहुँचती है। प्रक्षेपण कोण और शिखर ऊँचाई दिए जाने पर यह प्रारंभिक प्रक्षेपण वेग, कुल उड़ान समय और क्षैतिज परास निकाल देता है। इसमें यह मान लिया जाता है कि कोई वायु प्रतिरोध नहीं है और प्रक्षेप-पथ सपाट व सममित है, यानी वस्तु उसी ऊँचाई पर वापस गिरती है जहाँ से उसे फेंका गया था। यह भौतिकी सार्वभौमिक है और हर जगह बिल्कुल एक समान लागू होती है।

प्रक्षेप्य पथ का चाप जो प्रक्षेपण कोण थीटा, शिखर ऊँचाई h और क्षैतिज परास R दिखाता है — मुख्य राशियाँ: प्रक्षेपण कोण θ, अधिकतम शिखर ऊँचाई h, और क्षैतिज परास R.

इसका उपयोग कैसे करें

प्रक्षेपण कोण डिग्री में डालें (0 से 90 के बीच), शिखर ऊँचाई मीटर में, और गुरुत्वीय त्वरण m/s² में (डिफ़ॉल्ट मान 9.80665 पृथ्वी का मानक गुरुत्व है)। 'गणना करें' दबाते ही आपको वेग m/s और km/h दोनों में, उड़ान समय सेकंड में, और परास मीटर में दिख जाएगा।

सूत्रों की व्याख्या

उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है, इसलिए ऊपर की दिशा के समीकरण देते हैं $(v\cdot\sin\theta)^2 = 2gh$, अर्थात् $v = \sqrt{2gh} / \sin\theta$। ऊपर तक चढ़ने का समय $v\cdot\sin\theta/g$ होता है, और कुल उड़ान समय इसका दोगुना:

$$t = \frac{2\sqrt{2gh}}{g}$$

परास, क्षैतिज वेग को उड़ान समय से गुणा करने पर मिलता है: $l = t \cdot v \cdot \cos\theta$। मान लें $S = \sqrt{2gh}$; तब $v = S/\sin\theta$, $t = 2S/g$, और $l = t\cdot v\cdot\cos\theta$।

प्रक्षेपण कोण थीटा पर वेग का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजन — प्रक्षेपण वेग v क्षैतिज (v cosθ) और ऊर्ध्वाधर (v sinθ) घटकों में बँट जाता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लें $\theta = 60^\circ$, $h = 50\ \text{m}$, $g = 9.80665\ \text{m/s}^2$: तब

$$S = \sqrt{2\times 9.80665\times 50} = 31.3155\ \text{m/s}$$

$\sin 60^\circ = 0.866025$ और $\cos 60^\circ = 0.5$ लेने पर, प्रारंभिक वेग $= 31.3155/0.866025 = 36.16\ \text{m/s}$ (लगभग $130.18\ \text{km/h}$)। उड़ान समय $= 2\times 31.3155/9.80665 = 6.387\ \text{s}$, और परास $= 6.387\times 36.16\times 0.5 = 115.47\ \text{m}$।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

90 डिग्री पर क्या होता है? वस्तु सीधी ऊपर जाती है, इसलिए $\cos\theta = 0$ हो जाता है और क्षैतिज परास शून्य रहता है; वस्तु ठीक अपने प्रक्षेपण बिंदु पर ही वापस आ जाती है।

क्या वायु प्रतिरोध परिणाम बदल देता है? हाँ, असल जीवन में वायु अवरोध (drag) परास और शिखर ऊँचाई दोनों को घटा देता है। यह कैलकुलेटर वायु प्रतिरोध को अनदेखा करता है और निर्वात जैसी आदर्श स्थिति के मान देता है।

वेग दो इकाइयों में क्यों? km/h वाला मान ($v \times 3.6$) वही प्रारंभिक वेग है, बस उसे रोज़मर्रा की ज़्यादा परिचित इकाई में दिखाया गया है।

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