포물선 운동 계산기 (발사각과 최고점 높이로 계산)

계산 입력

Launch angle θ (degrees)

최고점(정점) 높이 h (m)

Gravitational acceleration g (m/s²)

결과

초기 발사 속도 v

36.16

m/s

초기 속도	130.176 km/h
체공 시간 t	6.387 s
도달 거리 (수평 거리) l	115.47 m

이 계산기로 무엇을 할 수 있나요

이 도구는 지면에서 일정한 각도로 발사되어 알려진 최고점(정점) 높이까지 올라가는 물체의 고전적인 포물선 운동 문제를 풀어 줍니다. 발사각과 최고 높이를 입력하면 초기 발사 속도, 총 체공 시간, 수평 도달 거리를 계산해 줍니다. 공기 저항이 없고 좌우 대칭인 평평한 궤적을 가정하므로, 물체는 발사한 높이와 같은 높이로 다시 떨어집니다. 이 물리 법칙은 보편적이어서 지구상 어디에서나 동일하게 적용됩니다.

주요 물리량: 발사각 θ, 최고점 높이 h, 수평 도달 거리 R.

사용 방법

발사각을 도(°) 단위로(0~90 사이), 최고점 높이를 미터(m) 단위로, 중력 가속도를 m/s² 단위로 입력하세요(기본값 9.80665는 지구 표준 중력입니다). 계산 버튼을 누르면 속도가 m/s와 km/h 두 단위로, 체공 시간이 초(s) 단위로, 도달 거리가 미터(m) 단위로 표시됩니다.

공식 풀이

최고점에서는 연직 방향 속도가 0이 됩니다. 따라서 위로 올라가는 운동학 식에서 \((v\cdot\sin\theta)^2 = 2gh\)가 되고, 이를 정리하면 \(v = \sqrt{2gh} / \sin\theta\) 입니다. 올라가는 데 걸리는 시간은 \(v\cdot\sin\theta/g\)이며, 전체 체공 시간은 그 두 배인 \(t = 2\sqrt{2gh}/g\) 입니다. 도달 거리는 수평 속도에 체공 시간을 곱한 값으로, \(l = t \cdot v \cdot \cos\theta\) 입니다. 여기서 \(S = \sqrt{2gh}\)로 두면, $$v = \frac{S}{\sin\theta}, \quad t = \frac{2S}{g}, \quad l = t\cdot v\cdot\cos\theta$$ 로 간단히 나타낼 수 있습니다.

발사 속도 v는 수평 성분(v cosθ)과 수직 성분(v sinθ)으로 나뉜다.

계산 예시

\(\theta = 60°\), \(h = 50 \text{ m}\), \(g = 9.80665 \text{ m/s}^2\)인 경우를 보겠습니다. $$S = \sqrt{2\times 9.80665\times 50} = 31.3155 \text{ m/s}$$ 입니다. \(\sin 60° = 0.866025\), \(\cos 60° = 0.5\)이므로 초기 속도는 $$\frac{31.3155}{0.866025} = 36.16 \text{ m/s} \;(\approx 130.18 \text{ km/h})$$입니다. 체공 시간은 $$\frac{2\times 31.3155}{9.80665} = 6.387 \text{ s}$$이고, 도달 거리는 $$6.387\times 36.16\times 0.5 = 115.47 \text{ m}$$ 입니다.

자주 묻는 질문

발사각이 90도이면 어떻게 되나요? 물체가 수직으로 곧장 올라가므로 \(\cos\theta = 0\)이 되어 수평 도달 거리는 0이 됩니다. 즉, 발사한 지점으로 그대로 떨어집니다.

공기 저항이 결과를 바꾸나요? 네, 실제로는 공기 저항(항력)이 도달 거리와 최고점 높이를 모두 줄입니다. 이 계산기는 공기 저항을 무시하므로 진공 상태를 가정한 이상적인 값을 제공합니다.

속도를 왜 두 가지 단위로 보여 주나요? km/h 값(\(v \times 3.6\))은 같은 초기 속도를 우리가 일상에서 더 익숙하게 쓰는 단위로 바꿔 표현한 것일 뿐입니다.