발사 높이를 고려한 포물선 운동 (속도와 각도)

계산 입력

초기 속도 Vs

속도 단위 m/s km/h

Launch angle θs (degrees)

발사 높이 h0 (m)

Gravitational acceleration g (m/s²)

결과

체공 시간 (공중 체류 시간)

5.9806

초

최고 높이 (발사 지점 기준)	34.4154 m
착지면 기준 정점 높이	54.4154 m
수평 도달 거리	89.7092 m

이 계산기의 기능

이 도구는 공기 저항을 무시한 채 일정한 높이에서 발사되는 포물선 운동을 모델링합니다. 착지면보다 높거나 낮은 지점에서 발사하는 경우 모두 적용됩니다. 초기 속도, 발사 각도, 발사 높이, 중력 가속도를 입력하면 체공 시간, 도달하는 최고 높이, 발사 지점에서 착지 지점까지의 수평 도달 거리를 계산해 줍니다. 특정 국가에 종속되지 않는 범용 물리 도구이며, 내부적으로 SI 단위를 사용합니다.

부호 규약

"위쪽"을 양(+)으로 두고 원점을 발사 지점에 놓습니다. 착지면은 \(y = -h_0\) 위치에 있습니다. 따라서 발사 높이 h0가 양수이면 물체가 발사 지점보다 아래로 떨어진다는 뜻이며(추가 낙하, 더 긴 체공 시간), 착지 지점이 발사 지점보다 높은 경우에는 h0를 음수로 입력하면 됩니다.

발사체는 높이 h0에서 각도 θ, 속도 V0로 발사되어 더 낮은 평면에 착지합니다.

사용 방법

초기 속도 Vs(m/s 또는 km/h 선택), 발사 각도(0~90도), 발사 높이 h0(미터), 중력 가속도 g(지구 기준 기본값 9.80665 m/s²)를 입력하세요. 계산기는 속도를 m/s로 변환한 뒤 수평·수직 성분으로 분해하고, 수직 방정식을 풀어 실제 착지 시간을 구합니다.

공식

\(V_x = V_0 \cdot \cos\theta\), \(V_y = V_0 \cdot \sin\theta\)로 두고 \(V_y \cdot t - \tfrac{1}{2} g \cdot t^2 = -h_0\)를 풀면 나중에 나오는(물리적으로 유효한) 해를 얻습니다:

$$t = \frac{V_y + \sqrt{V_y^{2} + 2g \cdot h_0}}{g}$$

발사 지점 위로 도달하는 정점 높이는 \(H = \dfrac{V_y^{2}}{2g}\)이고, 도달 거리는 \(R = V_x \cdot t\)입니다. 근호 안의 값이 음수이면 물체는 착지면에 도달하지 못합니다.

발사 속도 V0는 수평 성분(V0 cosθ)과 수직 성분(V0 sinθ)으로 분해됩니다.

계산 예시

\(V_0 = 30 \text{ m/s}\), \(\theta = 60^\circ\), \(h_0 = 20 \text{ m}\), \(g = 9.80665 \text{ m/s}^2\)인 경우를 봅시다. \(V_y = 25.9808 \text{ m/s}\), \(V_x = 15 \text{ m/s}\)입니다. 판별식 \(= 675 + 392.266 = 1067.266\)이고 \(\sqrt{\phantom{x}} = 32.669\)입니다. 체공 시간 \(= \dfrac{25.9808 + 32.669}{9.80665} = 5.9806\)초. 최고 높이 \(= \dfrac{675}{19.6133} =\) 발사 지점 위로 \(34.415 \text{ m}\)(지면 기준 \(54.415 \text{ m}\)). 도달 거리 \(= 15 \times 5.9806 = 89.709 \text{ m}\).

자주 묻는 질문

발사 지점과 착지 지점의 높이가 같으면? h0 = 0으로 설정하세요. 그러면 공식은 고전적인 \(t = \dfrac{2V_0 \cdot \sin\theta}{g}\), \(R = \dfrac{V_0^{2} \cdot \sin(2\theta)}{g}\)로 간단해집니다.

"도달하지 못함"이라고 표시되는 이유는? h0가 음수(목표 지점이 발사 지점보다 높음)이고, 수직 방향 속도가 그 높이까지 올라가기에 너무 작은 경우에만 나타납니다.

공기 저항도 포함되나요? 아니요. 이 계산기는 진공 상태를 가정한 이상적인 모델로, 교과서 문제나 빠른 어림 계산에 적합합니다.