발사 속도와 비행 시간으로 구하는 포물선 운동

계산 입력

초기 속도 v

m/s km/h

비행 시간 t (초)

중력 가속도 g (m/s²)

결과

1.0

Launch angle θ

78.71

수평면 기준 각도(도)

최고 높이 h	30.65 m
수평 도달 거리 l	24.46 m
초기 속도 (SI 단위)	25 m/s

이 계산기의 기능

이 도구는 공기 저항이 없는 이상적인 포물선 운동을 다룹니다. 발사 지점과 착지 지점의 높이가 같다고 가정합니다. 초기 발사 속도 \(v\)와 총 비행 시간 \(t\)(체공 시간)를 입력하면, 수평면 위쪽으로의 발사 각도, 도달한 최고 높이, 그리고 수평 도달 거리를 계산해 줍니다.

사용 방법

초기 속도를 입력하고 단위(m/s 또는 km/h)를 선택하세요. 비행 시간은 초 단위로, 중력 가속도는 m/s² 단위로 입력합니다(기본값은 표준 중력인 9.80665). 계산기는 속도를 SI 단위로 변환한 뒤 발사 각도, 높이, 도달 거리를 차례로 구합니다. 만약 주어진 비행 시간 동안 물체를 공중에 띄우기에 속도가 너무 작다면, 실수 해가 없다고 알려 줍니다.

공식 풀이

총 비행 시간은 오직 연직 방향 운동에만 의존합니다. 정점에 도달하는 시간은 \(t/2\)이며, 이 순간 연직 방향 속도는 0이 됩니다. 따라서 초기 연직 성분은 \(v_y = g\cdot t/2\) 입니다. 수평 성분은 \(v_x = \sqrt{v^{2}-v_y^{2}}\)로 구합니다. 도달 거리는 \(l = v_x\cdot t\), 최고 높이는 \(h = g\cdot t^{2}/8\), 발사 각도는 $$\theta = \arctan\!\left(\frac{4h}{l}\right)$$로 계산한 뒤 도(degree) 단위로 변환합니다.

각도 θ로 발사 속도 v를 가지는 발사체의 경로로, 최대 높이 h와 수평 도달 거리 l을 나타냄.

계산 예시

\(v = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}\), \(t = 5\)초, \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\)인 경우를 보겠습니다. $$v_y = 9.80665\cdot 5/2 = 24.5166\ \text{m/s}$$ $$v_x = \sqrt{625 - 601.065} = 4.8923\ \text{m/s}$$ 이므로 \(l = 24.46\ \text{m}\), $$h = 9.80665\cdot 25/8 = 30.65\ \text{m}$$ $$\theta = \arctan\!\left(4\cdot 30.65/24.46\right) = \arctan(5.011) \approx 78.72°$$ 가 됩니다.

자주 묻는 질문

왜 '실수 해 없음'이라고 나오나요? 물리적으로 성립하려면 \(v \ge g\cdot t/2\) 조건을 만족해야 합니다. 요청한 체공 시간에 비해 속도가 너무 작으면 제곱근 안의 값이 음수가 되어 실제로 가능한 발사가 존재하지 않습니다.

도달 거리가 0이면 어떤 경우인가요? \(v\)가 \(g\cdot t/2\)와 정확히 같을 때 수평 성분이 0이 되어, 발사 각도가 90°인 수직 발사가 됩니다.

공기 저항도 반영되나요? 아니요. 이 모델은 진공 상태를 가정한 이상적인 계산입니다. 실제 환경에서는 공기 저항 때문에 도달 거리가 더 짧아집니다.