발사각과 사거리로 계산하는 포물선 운동 계산기

계산 입력

Launch angle θ (degrees, 0 < θ < 90)

사거리 l (m)

Gravitational acceleration g (m/s²)

공식

Show calculation steps (2)

1. Time of Flight

   

   t = l / (v_0 cos theta), where v_0 is the launch speed found above.

2. Peak Height

   

   Maximum height reached; t is the time of flight and g the gravity.

결과

필요한 초기 속도 v

30.0982

m/s

초기 속도 v	108.3534 km/h
비행 시간 t	5.3159 s
최고 높이 h	34.641 m

이 계산기의 기능

이 포물선 운동 계산기는 목표 지점에서 거꾸로 거슬러 올라가는 방식으로 작동합니다. 이미 알고 있는 속도로부터 사거리를 구하는 것이 아니라, 주어진 발사각에서 원하는 수평 사거리에 도달하려면 어느 정도의 초기 속도가 필요한지를 알려줍니다. 여기에 더해 전체 비행 시간과 궤적의 최고 높이까지 함께 계산해 줍니다. 이 모델은 공기 저항이 없으며 발사 지점과 착지 지점의 높이가 같다고 가정합니다(좌우 대칭 포물선).

각도 \(\theta\)로 발사된 물체는 사거리 \(l\)과 최고 높이로 정의되는 포물선을 그립니다.

사용 방법

발사각을 도(°) 단위로 입력하고(0보다 크고 90보다 작아야 함), 원하는 수평 사거리를 미터(m) 단위로 입력합니다. 중력 가속도는 선택 입력 항목으로, 기본값은 표준 중력인 9.80665 m/s²입니다. 계산기는 필요한 초기 속도를 m/s와 km/h 두 단위로, 비행 시간을 초(s)로, 최고 높이를 미터(m)로 알려줍니다.

공식

사거리 관계식 \(l = v^{2}\cdot\sin(2\theta)/\text{g}\) 에서 초기 속도에 대해 풀면 다음과 같습니다.

$$v = \sqrt{\dfrac{\text{g}\cdot l}{\sin\!\left(2\theta\right)}}$$ 여기서 \(\sin(2\theta) = 2\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\) 입니다.

비행 시간은 사거리를 수평 속도 성분으로 나눈 값입니다. $$t = \dfrac{l}{v\cos\theta}$$ 최고 높이는 비행 시간의 절반 지점에서 도달하며 $$h = \dfrac{\text{g}\,t^{2}}{8}$$ 로 구합니다.

발사 속도는 수평 성분(\(v\cos\theta\))과 수직 성분(\(v\sin\theta\))으로 분해됩니다.

계산 예시

\(\theta = 60°\), \(l = 80\ \text{m}\), \(\text{g} = 9.80665\ \text{m/s}^2\)인 경우: \(\sin(120°) = 0.866025\) 이므로 $$v = \sqrt{\dfrac{9.80665 \times 80}{0.866025}} = 30.0982\ \text{m/s}\ (108.35\ \text{km/h})$$ 입니다. 비행 시간 $$t = \dfrac{80}{30.0982 \times 0.5} = 5.3159\ \text{s}$$ 이고, 최고 높이 $$h = \dfrac{9.80665 \times 5.3159^{2}}{8} = 34.640\ \text{m}$$ 입니다.

자주 묻는 질문

발사각은 왜 0도와 90도 사이여야 하나요? 0°에서는 발사체가 전혀 올라가지 않고, 90°에서는 수평 속도가 없습니다. 두 경우 모두 0으로 나누는 상황이 발생해 의미 있는 사거리를 얻을 수 없습니다.

공기 저항이 반영되나요? 아니요. 발사 지점과 착지 지점의 높이가 같다고 보는 진공 상태의 이상적인 모델입니다.

최고 높이는 지면에서부터 잰 값인가요? 발사 지점의 높이를 기준으로 측정한 값입니다.