यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आदर्श प्रक्षेप्य गति का मॉडल बनाता है, जिसमें वायु प्रतिरोध नहीं माना जाता और प्रक्षेप्य जिस ऊँचाई से छोड़ा जाता है उसी ऊँचाई पर वापस गिरता है। प्रारंभिक प्रक्षेपण गति \(v\) और कुल उड़ान समय \(t\) (हवा में रहने का समय) देने पर यह क्षैतिज से प्रक्षेपण कोण, पहुँची हुई अधिकतम ऊँचाई और क्षैतिज परास (दूरी) की गणना करता है।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रारंभिक गति दर्ज करें और उसकी इकाई चुनें (m/s या km/h)। उड़ान समय सेकंड में और गुरुत्वीय त्वरण m/s² में दर्ज करें (डिफ़ॉल्ट 9.80665, मानक गुरुत्व)। कैलकुलेटर गति को SI इकाइयों में बदलता है, फिर कोण, ऊँचाई और परास निकालता है। यदि दिए गए समय तक प्रक्षेप्य को हवा में बनाए रखने के लिए गति बहुत कम है, तो यह बताता है कि कोई वास्तविक हल नहीं है।
सूत्र की व्याख्या
कुल उड़ान समय केवल ऊर्ध्वाधर गति पर निर्भर करता है। शिखर तक पहुँचने का समय \(t/2\) होता है, जहाँ ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है, इसलिए प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक \(v_y = g \cdot t/2\) होता है। क्षैतिज घटक \(v_x = \sqrt{v^{2}-v_y^{2}}\) होता है। परास \(l = v_x \cdot t\), अधिकतम ऊँचाई \(h = g \cdot t^{2}/8\), और प्रक्षेपण कोण \(\theta = \arctan(4h/l)\) होता है, जिसे डिग्री में बदला जाता है।
$$\theta = \arctan\!\left(\frac{4H}{R}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} v &= \frac{\text{Speed}}{3.6} \\ v_y &= \frac{\text{g}\cdot\text{t}}{2} \\ v_x &= \sqrt{v^{2}-v_y^{2}} \\ R &= v_x\cdot\text{t} \\ H &= \frac{\text{g}\cdot\text{t}^{2}}{8} \end{aligned} \right.$$
हल किया हुआ उदाहरण
\(v = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}\), \(t = 5\ \text{s}\), \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\) के लिए:
$$v_y = \frac{9.80665 \cdot 5}{2} = 24.5166\ \text{m/s}$$$$v_x = \sqrt{625 - 601.065} = 4.8923\ \text{m/s}$$अतः
$$l = 24.46\ \text{m}$$$$h = \frac{9.80665 \cdot 25}{8} = 30.65\ \text{m}$$$$\theta = \arctan\!\left(\frac{4 \cdot 30.65}{24.46}\right) = \arctan(5.011) \approx 78.72^\circ$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह "कोई वास्तविक हल नहीं" क्यों दिखाता है? भौतिक रूप से मान्य होने के लिए \(v \geq g \cdot t/2\) आवश्यक है। यदि माँगे गए उड़ान समय के लिए गति बहुत कम हो, तो वर्गमूल के अंदर का पद ऋणात्मक हो जाता है और कोई वास्तविक प्रक्षेपण संभव नहीं रहता।
यदि परास शून्य हो तो क्या होगा? जब \(v\) ठीक \(g \cdot t/2\) के बराबर हो, तो क्षैतिज घटक शून्य हो जाता है, जिससे यह सीधा ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण बन जाता है और प्रक्षेपण कोण 90° होता है।
क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं। यह आदर्श निर्वात मॉडल है; वास्तविक दुनिया में खिंचाव (ड्रैग) के कारण परास इससे कम होता है।
