प्रक्षेपण ऊँचाई के साथ प्रक्षेप्य गति (वेग और कोण)

गणना दर्ज करें

प्रारंभिक वेग Vs

वेग की इकाई m/s km/h

Launch angle θs (degrees)

प्रक्षेपण ऊँचाई h0 (m)

Gravitational acceleration g (m/s²)

परिणाम

उड़ान का समय (हवा में रहने का समय)

5.9806

सेकंड

अधिकतम ऊँचाई (प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर)	34.4154 m
लैंडिंग तल से ऊपर शिखर की ऊँचाई	54.4154 m
क्षैतिज दूरी (परास)	89.7092 m

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी ऊँचाई से छोड़े गए प्रक्षेप्य की गति का मॉडल बनाता है, जहाँ प्रक्षेपण बिंदु लैंडिंग तल से ऊपर (या नीचे) हो सकता है और वायु प्रतिरोध को नज़रअंदाज़ किया जाता है। प्रारंभिक वेग, प्रक्षेपण कोण, प्रक्षेपण ऊँचाई और गुरुत्वाकर्षण देने पर यह उड़ान का समय, पहुँची गई अधिकतम ऊँचाई और प्रक्षेपण बिंदु से लैंडिंग बिंदु तक की क्षैतिज परास बताता है। यह एक सार्वभौमिक भौतिकी टूल है (किसी देश तक सीमित नहीं) जो आंतरिक रूप से SI इकाइयों का उपयोग करता है।

चिह्न परिपाटी (Sign Convention)

"ऊपर" की दिशा को धनात्मक मानें और मूल बिंदु (origin) को प्रक्षेपण बिंदु पर रखें। लैंडिंग तल \(y = -h_0\) पर स्थित होता है। इसलिए धनात्मक प्रक्षेपण ऊँचाई h0 का अर्थ है कि प्रक्षेप्य प्रक्षेपण बिंदु से नीचे गिरता है (अतिरिक्त गिरावट, लंबी उड़ान)। यदि लैंडिंग बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से ऊँचा है, तो h0 को ऋणात्मक मान के रूप में दर्ज करें।

प्रक्षेप्य प्रारंभिक ऊँचाई h0 से कोण θ और गति V0 पर छूटता है और निचले तल पर गिरता है।

इसका उपयोग कैसे करें

प्रारंभिक वेग Vs दर्ज करें (m/s या km/h चुनें), प्रक्षेपण कोण डिग्री में (0-90), प्रक्षेपण ऊँचाई h0 मीटर में, और गुरुत्वीय त्वरण g (पृथ्वी के लिए डिफ़ॉल्ट 9.80665 m/s²)। कैलकुलेटर वेग को m/s में बदलता है, उसे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करता है, और वास्तविक लैंडिंग समय के लिए ऊर्ध्वाधर समीकरण हल करता है।

सूत्र

\(V_x = V_0\cdot\cos\theta\) और \(V_y = V_0\cdot\sin\theta\) के साथ, \(V_y\cdot t - \tfrac{1}{2}g\cdot t^{2} = -h_0\) को हल करने पर बाद वाला (वास्तविक) मूल मिलता है:

$$t = \frac{V_y + \sqrt{V_y^{2} + 2g\cdot h_0}}{g}$$

प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर शिखर की ऊँचाई \(H = \dfrac{V_y^{2}}{2g}\) होती है, और परास \(R = V_x\cdot t\) होती है। यदि वर्गमूल के अंदर का पद ऋणात्मक हो, तो प्रक्षेप्य कभी भी लैंडिंग तल तक नहीं पहुँचता।

प्रक्षेपण गति V0 क्षैतिज (V0 cosθ) और ऊर्ध्वाधर (V0 sinθ) घटकों में विभाजित होती है।

हल किया गया उदाहरण

\(V_0 = 30\ \text{m/s}\), \(\theta = 60^\circ\), \(h_0 = 20\ \text{m}\), \(g = 9.80665\ \text{m/s}^2\)। \(V_y = 25.9808\ \text{m/s}\), \(V_x = 15\ \text{m/s}\)। विविक्तकर (Discriminant):

$$675 + 392.266 = 1067.266, \quad \sqrt{1067.266} = 32.669$$

उड़ान का समय:

$$t = \frac{25.9808 + 32.669}{9.80665} = 5.9806\ \text{s}$$

अधिकतम ऊँचाई:

$$H = \frac{675}{19.6133} = 34.415\ \text{m}$$

प्रक्षेपण बिंदु से 34.415 m ऊपर (ज़मीन से 54.415 m ऊपर)। परास:

$$R = 15 \times 5.9806 = 89.709\ \text{m}$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि प्रक्षेपण और लैंडिंग एक ही समतल पर हों तो? \(h_0 = 0\) रखें; तब सूत्र सरल होकर क्लासिक रूप \(t = \dfrac{2V_0\cdot\sin\theta}{g}\) और \(R = \dfrac{V_0^{2}\cdot\sin(2\theta)}{g}\) में बदल जाता है।

यह "पहुँचता नहीं" क्यों दिखाता है? ऐसा केवल तब होता है जब h0 ऋणात्मक हो (लक्ष्य प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर हो) और ऊर्ध्वाधर वेग उस तल तक चढ़ने के लिए बहुत कम हो।

क्या इसमें वायु प्रतिरोध शामिल है? नहीं — यह आदर्श निर्वात मॉडल है, जो पाठ्यपुस्तक की समस्याओं और त्वरित अनुमानों के लिए उपयुक्त है।