À quoi sert ce calculateur
Cet outil reconstitue les conditions de lancement à partir de la trajectoire d'un projectile. Si vous connaissez la hauteur de son apogée (la hauteur maximale h) et la distance horizontale parcourue (la portée l), il vous donne la vitesse initiale de lancement, l'angle de tir et le temps de vol total. Le calcul suppose l'absence de résistance de l'air et que les points de départ et d'arrivée se situent à la même altitude : la trajectoire est donc une parabole parfaitement symétrique.
Comment l'utiliser
Saisissez la hauteur maximale en mètres, la portée horizontale en mètres, ainsi que l'accélération de la pesanteur (par défaut, la valeur standard de 9,80665 m/s²). Lancez le calcul pour obtenir la vitesse initiale requise, exprimée à la fois en m/s et en km/h, l'angle de tir mesuré par rapport à l'horizontale, et la durée pendant laquelle le projectile reste en l'air. Réglez la portée sur 0 m pour modéliser un lancement strictement vertical (angle = 90°).
La formule expliquée
Au sommet de la trajectoire, la vitesse verticale est nulle : la hauteur maximale détermine donc la vitesse verticale initiale, soit \(v_y = \sqrt{2gh}\). Le temps nécessaire pour atteindre l'apogée vaut \(\sqrt{2h/g}\), et le vol complet dure deux fois plus longtemps : \(t = 2\sqrt{2h/g}\). Le mouvement horizontal s'effectue à vitesse constante, d'où \(v_x = l / (2\sqrt{2h/g})\). La vitesse de lancement correspond à la somme vectorielle \(v = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}\), et l'angle au-dessus de l'horizontale s'écrit \(\theta = \arctan(4h/l)\) (les termes liés à la pesanteur s'annulent dans ce rapport).
$$v_0 = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}} \qquad \theta = \arctan\!\left(\frac{4\,\text{h}}{\text{l}}\right)$$ $$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} v_y &= \sqrt{2\,\text{g}\,\text{h}} \\ v_x &= \frac{\text{l}}{2\,t_{\uparrow}} \\ t_{\uparrow} &= \sqrt{\frac{2\,\text{h}}{\text{g}}} \end{aligned} \right.$$
Exemple résolu
Pour h = 50 m, l = 80 m et g = 9,80665 m/s² :
$$v_y = \sqrt{2\times9{,}80665\times50} = 31{,}316 \text{ m/s}$$ $$t = 2\sqrt{100/9{,}80665} = 6{,}387 \text{ s}$$ $$v_x = 80 / 6{,}387 = 12{,}526 \text{ m/s}$$ $$v = \sqrt{12{,}526^{2} + 31{,}316^{2}} = 33{,}73 \text{ m/s}$$ $$\theta = \arctan(200/80) = \arctan(2{,}5) = 68{,}20°$$On obtient donc \(v = 33{,}73\) m/s (soit environ 121,4 km/h), et \(\theta = 68{,}20°\).
FAQ
La résistance de l'air est-elle prise en compte ? Non. Le calcul repose sur un mouvement de projectile idéal, dans le vide, ce qui reste précis pour des objets denses se déplaçant à des vitesses modérées.
Et si les hauteurs de départ et d'arrivée diffèrent ? Le modèle symétrique suppose des altitudes identiques. Lorsque les hauteurs sont différentes, les relations entre le temps de vol et la portée changent, et ces formules ne s'appliquent plus directement.
Pourquoi l'angle ne dépend-il pas de la pesanteur ? Parce que \(\tan\theta = v_y/v_x\) se simplifie en \(4h/l\), où g s'annule. La pesanteur influe toujours sur la vitesse et le temps de vol, mais pas sur l'angle.
