प्रक्षेप्य रेंज कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

प्रारंभिक वेग (m/s)

प्रक्षेपण कोण (डिग्री)

गुरुत्व (m/s²)

परिणाम

क्षैतिज रेंज

40.77

मीटर

अधिकतम ऊँचाई	10.19 m
उड़ान समय	2.88 s

प्रक्षेप्य रेंज कैलकुलेटर क्या है?

यह कैलकुलेटर बताता है कि समतल ज़मीन से प्रक्षेपित किया गया कोई प्रक्षेप्य (projectile) क्षैतिज दिशा में कितनी दूर तक जाता है। आप प्रारंभिक चाल, प्रक्षेपण कोण और गुरुत्वीय त्वरण देते हैं, और यह तीन परिणाम लौटाता है — क्षैतिज रेंज, अधिकतम ऊँचाई, और प्रक्षेप्य का हवा में रहने का कुल समय। यह गणना यह मानकर की जाती है कि हवा का प्रतिरोध शून्य है और प्रक्षेपण व लैंडिंग दोनों एक ही ऊँचाई पर होते हैं।

प्रक्षेप्य का पथ: कोण θ पर प्रक्षेपण वेग v से परास R और अधिकतम ऊँचाई h प्राप्त होती है।

इसका उपयोग कैसे करें

प्रारंभिक वेग मीटर प्रति सेकंड में, प्रक्षेपण कोण डिग्री में (0–90), और गुरुत्वीय त्वरण दर्ज करें (पृथ्वी पर 9.81 m/s², चंद्रमा पर 1.62, और मंगल पर 3.71)। कैलकुलेटर तुरंत प्रक्षेप पथ के सभी मान निकाल देता है। समतल ज़मीन पर अधिकतम रेंज पाने के लिए 45° का कोण इस्तेमाल करें।

सूत्र को समझें

क्षैतिज रेंज का सूत्र है $$R = \frac{v^{2}\cdot\sin(2\theta)}{g}$$ जहाँ \(v\) प्रक्षेपण चाल है, \(\theta\) कोण है, और \(g\) गुरुत्व है। \(\sin(2\theta)\) का मान \(\theta = 45°\) पर सबसे अधिक होता है, इसीलिए यही कोण सबसे लंबी दूरी देता है। अधिकतम ऊँचाई $$H = \frac{v^{2}\cdot\sin^{2}(\theta)}{2g}$$ से और उड़ान समय $$T = \frac{2v\cdot\sin(\theta)}{g}$$ से निकाला जाता है।

प्रक्षेपण वेग क्षैतिज (v·cosθ) और ऊर्ध्वाधर (v·sinθ) घटकों में विभाजित होता है।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए पृथ्वी पर (\(g = 9.81\)) किसी गेंद को 20 m/s की चाल और 45° कोण से फेंका जाता है। तब \(\sin(90°) = 1\), इसलिए $$R = \frac{20^{2}\cdot 1}{9.81} = \frac{400}{9.81} \approx 40.77 \text{ m}$$ अधिकतम ऊँचाई $$H = \frac{400\cdot\sin^{2}(45°)}{2\cdot 9.81} = \frac{400\cdot 0.5}{19.62} \approx 10.19 \text{ m}$$ उड़ान समय $$T = \frac{2\cdot 20\cdot\sin(45°)}{9.81} \approx 2.88 \text{ s}$$

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सबसे लंबी रेंज किस कोण पर मिलती है? समतल ज़मीन पर और हवा के प्रतिरोध के बिना, 45° का कोण रेंज को अधिकतम कर देता है।

क्या यह हवा के प्रतिरोध को ध्यान में रखता है? नहीं। यह आदर्श निर्वात (vacuum) वाले प्रक्षेप पथ का उपयोग करता है, जो धीमी या भारी वस्तुओं के लिए सटीक रहता है, लेकिन हल्की और तेज़ वस्तुओं के लिए रेंज को ज़रूरत से ज़्यादा आँक देता है।

क्या मैं इसे दूसरे ग्रहों के लिए उपयोग कर सकता हूँ? हाँ — बस गुरुत्व का मान उस खगोलीय पिंड के अनुसार बदल दें (जैसे चंद्रमा के लिए 1.62 m/s²)।