यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी फ़्रीक्वेंसी डिस्ट्रिब्यूशन टेबल के डेटा बिंदुओं पर \(y = A \cdot B^{x}\) रूप की ab-एक्सपोनेंशियल ट्रेंड लाइन फ़िट करता है। हर पंक्ति में एक x मान, एक y मान और एक फ़्रीक्वेंसी \(f\) होती है (यानी वह (x, y) जोड़ी कितनी बार आती है, या उसका भार)। यह विशुद्ध रूप से एक सांख्यिकीय विधि है और हर जगह एक समान लागू होती है — न कोई इकाई, न कोई देश-विशेष नियम।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रत्येक डेटा बिंदु को एक पंक्ति में x, y, f के रूप में दर्ज करें। y मान अनिवार्य रूप से धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि यह विधि y का प्राकृतिक लघुगणक (natural log) लेती है। यदि आप सामान्य बिना-भार वाला फ़िट चाहते हैं, तो हर फ़्रीक्वेंसी को 1 रखें (आप तीसरी संख्या छोड़ भी सकते हैं, ऐसे में f = 1 मान लिया जाएगा)। दिखाए जाने वाले गुणांकों के लिए सार्थक अंकों (significant figures) की संख्या चुनें, और फिर A, B तथा सहसंबंध गुणांक r पढ़ लें।
सूत्र की व्याख्या
यहाँ असली तरकीब है मॉडल को रैखिक (linear) बनाना: \(y = A \cdot B^{x}\) का लघुगणक लेने पर मिलता है \(\ln y = \ln A + x \cdot \ln B\), जो (x, ln y) तल में एक सीधी रेखा है। हम x पर ln y का फ़्रीक्वेंसी-वेटेड लीस्ट स्क्वेयर रिग्रेशन करते हैं।
$$y = A \cdot B^{x}, \qquad B = e^{\,S_{xy}/S_{xx}}, \quad A = e^{\,\overline{\ln y} - \bar{x}\,(S_{xy}/S_{xx})}$$जहाँ \(n = \sum f\), वेटेड माध्य \(\bar{x}\) और \(\overline{\ln y}\), तथा वेटेड योग \(S_{xx}\), \(S_{yy}\), \(S_{xy}\) हों, वहाँ ढाल (slope) \(= S_{xy}/S_{xx}\) और अंतःखंड (intercept) \(= \overline{\ln y} - \bar{x} \cdot \text{ढाल}\) होता है। इन्हें घातांकित (exponentiate) करने पर \(B = e^{\text{slope}}\) और \(A = e^{\text{intercept}}\) मिलता है। सहसंबंध गुणांक \(r = S_{xy} / (\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}})\) यह बताता है कि लघुगणक-रैखिक मॉडल डेटा से कितनी अच्छी तरह मेल खाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
पूरी तरह दोगुने होते डेटा (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16) के लिए, जहाँ सबकी f = 1 है: \(n = 4\), \(\bar{x} = 2.5\), \(\overline{\ln y} = 1.732868\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} = 3.465735\), \(S_{yy} = 2.402224\)। तब $$B = e^{3.465735/5} = e^{0.693147} = 2, \quad A = e^{0} = 1, \quad r = 1.$$ इस प्रकार फ़िट वक्र है \(y = 1 \cdot 2^{x}\), ठीक वैसा ही जैसा अपेक्षित था।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
फ़्रीक्वेंसी कॉलम का क्या काम है? यह हर डेटा बिंदु को इस आधार पर भार देता है कि वह कितनी बार आता है, यानी f = 5 वाली पंक्ति पाँच एक-जैसी पंक्तियों के बराबर गिनी जाती है। सामान्य रिग्रेशन के लिए हर जगह f = 1 रखें।
r को कैसे पढ़ें? |r| > 0.7 का अर्थ है मज़बूत सहसंबंध, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से कम होने पर लगभग कोई सहसंबंध नहीं। r की गणना (x, ln y) तल में होती है।
y धनात्मक क्यों होना चाहिए? मॉडल y का प्राकृतिक लघुगणक लेता है; \(y \le 0\) के लिए ln y परिभाषित ही नहीं है, इसलिए शून्य या ऋणात्मक y वाली पंक्तियाँ अनदेखी कर दी जाती हैं।
