यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल आपके डेटा बिंदुओं पर \(y = A\cdot x^{B}\) रूप की पावर-लॉ ट्रेंड लाइन फ़िट करता है, जहाँ हर बिंदु (x, y) के साथ एक फ़्रीक्वेंसी या वेट f जुड़ा हो सकता है। यह नैचुरल-लॉग स्पेस में किया गया फ़्रीक्वेंसी-वेटेड लीस्ट-स्क्वेयर्स रिग्रेशन है, जो पावर कर्व को एक सीधी रेखा \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\) में बदल देता है। यह विधि पूरी तरह गणित और सांख्यिकी पर आधारित है, इसलिए यह हर जगह लागू होती है और इस पर किसी देश या क्षेत्र के विशेष नियम लागू नहीं होते।
इसका उपयोग कैसे करें
x के मान, y के मान और फ़्रीक्वेंसी को बराबर लंबाई वाली तीन कॉमा-सेपरेटेड सूचियों के रूप में दर्ज करें। हर x और y का मान सख़्ती से धनात्मक होना चाहिए (शून्य या ऋणात्मक संख्याओं के लिए लघुगणक परिभाषित नहीं है), और हर फ़्रीक्वेंसी शून्य या उससे अधिक होनी चाहिए। आउटपुट में दिखाए जाने वाले सार्थक अंकों (significant digits) की संख्या चुनें, फिर फ़िट किया गया गुणांक A, घातांक B और पियर्सन सहसंबंध गुणांक r पढ़ें।
सूत्र की व्याख्या
हर पंक्ति के लिए मान लें \(X = \ln x\) और \(Y = \ln y\)। कुल वेट \(n = \sum f\) के साथ, वेटेड माध्य इस प्रकार हैं: \(\overline{\ln x} = \frac{\sum f\cdot\ln x}{n}\) और \(\overline{\ln y} = \frac{\sum f\cdot\ln y}{n}\)। वर्गों के वेटेड योग हैं: $$S_{xx} = \sum f(\ln x)^2 - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2}, \quad S_{yy} = \sum f(\ln y)^2 - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}, \quad S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\cdot\overline{\ln y}$$ फिर $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right), \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ व्यवहार में हर बिंदु ऐसे गिना जाता है मानो उसे f बार दोहराया गया हो।
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) और \(y = [1, 4, 9, 16, 25]\) (ठीक \(y = x^2\)), और सभी फ़्रीक्वेंसी 1। गणना करने पर मिलता है \(S_{xx} \approx 1.615494\), \(S_{xy} \approx 3.230987\) और \(S_{yy} \approx 6.461972\), इसलिए $$B = \frac{3.230987}{1.615494} = 2, \quad A = \exp(0) = 1, \quad r = 1$$ परिणाम \(y = 1\cdot x^2\) एक संपूर्ण (परफ़ेक्ट) फ़िट है, जैसा कि अपेक्षित था।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सहसंबंध गुणांक का क्या अर्थ है? \(|r|\) का मान 1 के पास होना मज़बूत पावर-लॉ संबंध दर्शाता है; 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर और 0.2 से नीचे का मतलब लगभग कोई संबंध नहीं।
x और y धनात्मक क्यों होने चाहिए? यह फ़िट नैचुरल लॉगरिद्म का उपयोग करता है, जो केवल धनात्मक संख्याओं के लिए ही परिभाषित है, इसलिए शून्य या ऋणात्मक बिंदु छोड़ दिए जाते हैं।
अगर सभी x मान बराबर हों तो क्या होगा? तब \(S_{xx} = 0\) हो जाता है और घातांक B निर्धारित नहीं किया जा सकता, इसलिए कैलकुलेटर एक त्रुटि (error) दर्शाता है।
