Công cụ này làm gì
Công cụ này khớp một đường xu hướng dạng lũy thừa có dạng \(y = A\cdot x^{B}\) cho một tập điểm dữ liệu, trong đó mỗi điểm (x, y) có thể mang một tần suất hay trọng số f. Đây là phép hồi quy bình phương tối thiểu có trọng số tần suất, được thực hiện trong không gian logarit tự nhiên — nhờ đó đường cong lũy thừa được biến thành một đường thẳng \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\). Phương pháp này hoàn toàn thuần toán học và thống kê, nên áp dụng được ở mọi nơi mà không phụ thuộc vào quy định của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng
Hãy nhập các giá trị x, các giá trị y và các tần suất dưới dạng ba danh sách phân tách bằng dấu phẩy, có độ dài bằng nhau. Mỗi giá trị x và y phải dương tuyệt đối (logarit không xác định với số 0 hoặc số âm), còn mỗi tần suất phải lớn hơn hoặc bằng 0. Chọn số chữ số có nghĩa cho kết quả hiển thị, sau đó đọc hệ số A đã khớp, số mũ B và hệ số tương quan Pearson r.
Giải thích công thức
Với mỗi dòng, đặt \(X = \ln x\) và \(Y = \ln y\). Với tổng trọng số \(n = \sum f\), các giá trị trung bình có trọng số là \(\text{meanLnX} = \sum f\cdot\ln x / n\) và \(\text{meanLnY} = \sum f\cdot\ln y / n\). Các tổng bình phương có trọng số là
$$S_{xx} = \sum f(\ln x)^2 - n\cdot\text{meanLnX}^2,$$$$S_{yy} = \sum f(\ln y)^2 - n\cdot\text{meanLnY}^2,$$$$S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\text{meanLnX}\cdot\text{meanLnY}.$$Khi đó
$$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad A = \exp(\text{meanLnY} - B\cdot\text{meanLnX}) \quad\text{và}\quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}.$$Mỗi điểm về thực chất được tính như thể nó lặp lại f lần.
Ví dụ minh họa
Lấy x = [1, 2, 3, 4, 5] và y = [1, 4, 9, 16, 25] (đúng bằng \(y = x^2\)) với mọi tần suất đều là 1. Phép tính cho ra \(S_{xx} \approx 1{,}615494\), \(S_{xy} \approx 3{,}230987\) và \(S_{yy} \approx 6{,}461972\), nên \(B = 3{,}230987/1{,}615494 = 2\), \(A = \exp(0) = 1\) và \(r = 1\). Kết quả \(y = 1\cdot x^2\) là một phép khớp hoàn hảo, đúng như mong đợi.
Câu hỏi thường gặp
Hệ số tương quan có ý nghĩa gì? \(|r|\) gần 1 cho thấy mối quan hệ lũy thừa rất chặt; 0,4–0,7 là trung bình, 0,2–0,4 là yếu và dưới 0,2 thì gần như không có liên hệ.
Vì sao x và y phải dương? Phép khớp dùng logarit tự nhiên, vốn chỉ xác định với số dương, nên các điểm không dương sẽ bị bỏ qua.
Nếu mọi giá trị x đều bằng nhau thì sao? Khi đó \(S_{xx} = 0\) và không thể xác định số mũ B, nên công cụ sẽ báo lỗi.
