Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir veri kümesine \(y = A\cdot x^{B}\) biçiminde bir üstel (kuvvet yasası) trend eğrisi uydurur; burada her (x, y) noktası bir frekans ya da ağırlık f taşıyabilir. İşlem, doğal logaritma uzayında yapılan frekans ağırlıklı en küçük kareler regresyonudur. Bu sayede üstel eğri, \(\ln y = \ln A + B\cdot\ln x\) şeklinde bir doğruya dönüşür. Yöntem tamamen matematik ve istatistik temellidir; bu nedenle herhangi bir ülkeye veya bölgesel kurala bağlı olmadan her yerde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
x değerlerini, y değerlerini ve frekansları, eşit uzunlukta üç ayrı virgülle ayrılmış liste olarak girin. Her x ve y değeri kesinlikle pozitif olmalıdır (logaritma sıfır veya negatif sayılar için tanımsızdır) ve her frekans sıfır ya da daha büyük olmalıdır. Görüntülenecek sonuç için anlamlı basamak sayısını seçin; ardından uydurulan A katsayısını, B üssünü ve Pearson korelasyon katsayısı r'yi okuyun.
Formülün açıklaması
Her satır için \(X = \ln x\) ve \(Y = \ln y\) olsun. Toplam ağırlık \(n = \sum f\) olmak üzere, ağırlıklı ortalamalar $$\overline{\ln x} = \frac{\sum f\cdot\ln x}{n} \qquad \overline{\ln y} = \frac{\sum f\cdot\ln y}{n}$$ şeklindedir. Ağırlıklı kareler toplamları ise $$S_{xx} = \sum f(\ln x)^{2} - n\cdot\overline{\ln x}^{\,2}, \quad S_{yy} = \sum f(\ln y)^{2} - n\cdot\overline{\ln y}^{\,2}, \quad S_{xy} = \sum f(\ln x)(\ln y) - n\cdot\overline{\ln x}\cdot\overline{\ln y}$$ olarak hesaplanır. Buradan $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad A = \exp\!\left(\overline{\ln y} - B\cdot\overline{\ln x}\right), \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$$ elde edilir. Her nokta, sanki f kez tekrar edilmiş gibi ağırlık taşır.
Çözümlü örnek
\(x = [1, 2, 3, 4, 5]\) ve \(y = [1, 4, 9, 16, 25]\) (tam olarak \(y = x^{2}\)) alalım ve tüm frekansları 1 kabul edelim. Hesaplama sonucunda \(S_{xx} \approx 1{,}615494\), \(S_{xy} \approx 3{,}230987\) ve \(S_{yy} \approx 6{,}461972\) bulunur. Buradan $$B = \frac{3{,}230987}{1{,}615494} = 2, \qquad A = \exp(0) = 1, \qquad r = 1$$ çıkar. Beklendiği gibi \(y = 1\cdot x^{2}\) sonucu kusursuz bir uyum sağlar.
Sıkça sorulan sorular
Korelasyon katsayısı ne anlama gelir? \(|r|\) değerinin 1'e yakın olması güçlü bir üstel ilişkiyi gösterir; 0,4–0,7 orta, 0,2–0,4 zayıf, 0,2'nin altı ise neredeyse hiç ilişki olmadığı anlamına gelir.
x ve y neden pozitif olmak zorunda? Uydurma işlemi doğal logaritma kullanır; logaritma yalnızca pozitif sayılar için tanımlıdır, bu yüzden pozitif olmayan noktalar atlanır.
Tüm x değerleri eşitse ne olur? Bu durumda \(S_{xx} = 0\) olur ve B üssü belirlenemez; hesaplayıcı bir hata bildirir.
