Üs regresyonu nedir?
Üs regresyonu, bir veri kümesine \(y = A \cdot x^{B}\) modelini uydurma yöntemidir. Bu eğriyle fizikte, biyolojide ve ekonomide sıkça karşılaşılır; çünkü bir büyüklüğün başka bir büyüklüğün üssü olarak ölçeklendiği pek çok durum vardır — allometrik büyüme, öğrenme eğrileri ve sayısız ölçekleme yasası gibi. B üssü ölçeklenme hızını, A katsayısı ise genel büyüklük seviyesini belirler.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
X değerleriniz ile Y değerlerinizi virgül veya boşlukla ayrılmış listeler hâlinde girin; değerler sırasına göre eşleşir (ilk X ilk Y ile, ikinci X ikinci Y ile, ve böyle devam eder). Hesaplama doğal logaritma kullandığından her değer kesinlikle pozitif olmalıdır; sıfır veya altındaki bir değer içeren satırlar göz ardı edilir. Kaç anlamlı basamak gösterileceğini seçin, ardından katsayıları ve korelasyon katsayısı r'yi okuyun.
Formülün açıklaması
İşin püf noktası doğrusallaştırmadır. \(y = A \cdot x^{B}\) denkleminin her iki tarafının doğal logaritması alındığında \(\ln y = \ln A + B \cdot \ln x\) elde edilir; bu, \(t = \ln x\) ve \(u = \ln y\) dönüştürülmüş değişkenlerinde bir doğru denklemidir. Ardından sıradan en küçük kareler regresyonu uygularız: ortalamaları, \(S_{xx}\) ve \(S_{yy}\) kareler toplamlarını ve \(S_{xy}\) çarpım toplamını hesaplarız. Eğim olan \(B = S_{xy}/S_{xx}\) üssü verir, \(A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x})\) ise katsayıyı verir. Korelasyon katsayısı \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}\) ise logaritmik dönüştürülmüş noktaların ne kadar iyi hizalandığını gösterir.
$$y = A \cdot x^{B}$$$$B = \frac{n\sum \ln x_i \ln y_i - \sum \ln x_i \sum \ln y_i}{n\sum (\ln x_i)^2 - \left(\sum \ln x_i\right)^2}$$$$A = \exp\!\left( \overline{\ln y} - B\,\overline{\ln x} \right)$$
Çözümlü örnek
(1,2), (2,5), (3,11), (4,21), (5,33) verileri ve \(n = 5\) için logaritmik toplamlar \(S_{xx} \approx 1{,}6155\), \(S_{xy} \approx 2{,}8340\) ve \(S_{yy} \approx 5{,}0410\) sonuçlarını verir. Buradan \(B = 2{,}8340/1{,}6155 \approx 1{,}7544\) ve \(A = \exp(2{,}2483 - 1{,}7544 \cdot 0{,}9575) \approx 1{,}7655\) bulunur. Korelasyon \(r \approx 0{,}9933\) olup oldukça güçlü bir uyuma işaret eder. Model şöyle olur: \(y \approx 1{,}7655 \cdot x^{1{,}7544}\).
Sıkça sorulan sorular
Neden tüm değerler pozitif olmalı? Yöntem \(\ln(x)\) ve \(\ln(y)\) işlemlerini kullanır; sıfırın veya negatif bir sayının logaritması tanımsızdır, bu yüzden pozitif olmayan noktalar kullanılamaz.
Korelasyon r nasıl yorumlanır? \(|r|\) değeri 0,7'nin üzerindeyse güçlü bir ilişki, 0,4–0,7 arası orta düzey, 0,2–0,4 arası zayıf ve 0,2'nin altında neredeyse yok denecek bir ilişki vardır.
Doğal logaritma mı yoksa 10 tabanlı logaritma mı kullandığım önemli mi? Hayır — \(B\) üssü ve \(r\) korelasyonu her iki durumda da aynıdır. Biz doğal logaritmayı kullanıyor ve \(A\)'yı \(\exp()\) ile tutarlı biçimde hesaplıyoruz, böylece sonuçlar standart kaynaklarla örtüşür.
