Что такое степенная регрессия?
Степенная регрессия подбирает модель \( y = A \cdot x^{B} \) к набору данных. Такая кривая часто встречается в физике, биологии и экономике всякий раз, когда одна величина растёт как степень другой — аллометрический рост, кривые обучения и множество законов масштабирования. Показатель степени B отражает скорость масштабирования, а коэффициент A задаёт общий масштаб значений.
Как пользоваться калькулятором
Введите значения X и значения Y списками, разделяя их запятыми или пробелами; элементы сопоставляются по порядку (первый X — с первым Y и так далее). Каждое значение должно быть строго положительным, потому что в расчётах используется натуральный логарифм — любая строка со значением, равным нулю или меньше, отбрасывается. Выберите число значащих цифр для вывода, после чего считайте коэффициенты и коэффициент корреляции r.
Как устроена формула
Главный приём — это линеаризация. Если взять натуральный логарифм от обеих частей уравнения \( y = A \cdot x^{B} \), получится
$$\ln y = \ln A + B \cdot \ln x$$— прямая линия в новых переменных \( t = \ln x \) и \( u = \ln y \). Дальше применяется обычный метод наименьших квадратов: вычисляются средние, суммы квадратов \( S_{xx} \) и \( S_{yy} \), а также смешанная сумма \( S_{xy} \). Угловой коэффициент \( B = S_{xy}/S_{xx} \) — это показатель степени, а \( A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x}) \). Коэффициент корреляции \( r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}} \) показывает, насколько хорошо логарифмированные точки укладываются на прямую.
Разбор примера
Для данных (1,2), (2,5), (3,11), (4,21), (5,33) при \( n = 5 \) логарифмические суммы дают \( S_{xx} \approx 1{,}6155 \), \( S_{xy} \approx 2{,}8340 \) и \( S_{yy} \approx 5{,}0410 \). Тогда
$$B = \frac{2{,}8340}{1{,}6155} \approx 1{,}7544$$а
$$A = \exp(2{,}2483 - 1{,}7544 \cdot 0{,}9575) \approx 1{,}7655$$Корреляция составляет \( r \approx 0{,}9933 \) — очень тесная связь. Итоговая модель:
$$y \approx 1{,}7655 \cdot x^{1{,}7544}$$Частые вопросы
Почему все значения должны быть положительными? Метод берёт \( \ln(x) \) и \( \ln(y) \), а логарифм нуля или отрицательного числа не определён, поэтому неположительные точки использовать нельзя.
Как трактовать корреляцию r? Значения \( |r| \) выше 0,7 говорят о сильной связи, 0,4–0,7 — об умеренной, 0,2–0,4 — о слабой, а ниже 0,2 — практически об отсутствии связи.
Важно ли, какой логарифм брать — натуральный или десятичный? Нет: показатель степени \( B \) и корреляция \( r \) получаются одинаковыми в любом случае. Мы используем натуральный логарифм и вычисляем \( A \) согласованно через \( \exp() \), поэтому результаты совпадают со стандартными источниками.
