¿Qué es la regresión potencial?
La regresión potencial ajusta el modelo \(y = A \cdot x^{B}\) a un conjunto de datos. Esta curva aparece con frecuencia en física, biología y economía siempre que una magnitud crece como una potencia de otra: el crecimiento alométrico, las curvas de aprendizaje y multitud de leyes de escala. El exponente \(B\) indica el ritmo de escalado, mientras que el coeficiente \(A\) fija la magnitud global.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tus valores de X y de Y como listas separadas por comas o espacios, emparejadas por posición (el primer X se asocia con el primer Y, y así sucesivamente). Todos los valores deben ser estrictamente positivos, ya que el ajuste utiliza logaritmos naturales; cualquier fila con un valor igual o inferior a cero se descarta. Elige cuántas cifras significativas quieres mostrar y, a continuación, consulta los coeficientes y el coeficiente de correlación \(r\).
La fórmula explicada
La clave está en la linealización. Al tomar el logaritmo natural en ambos lados de \(y = A \cdot x^{B}\) obtenemos \(\ln y = \ln A + B \cdot \ln x\), una recta en las variables transformadas \(t = \ln x\) y \(u = \ln y\). Después aplicamos una regresión por mínimos cuadrados ordinarios: calculamos las medias, las sumas de cuadrados \(S_{xx}\) y \(S_{yy}\), y el producto cruzado \(S_{xy}\). La pendiente \(B = S_{xy}/S_{xx}\) es el exponente, y \(A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x})\). El coeficiente de correlación \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}\) mide hasta qué punto se alinean los puntos transformados logarítmicamente.
$$y = A \cdot x^{B}$$$$\text{donde}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{n\sum \ln x_i \ln y_i - \sum \ln x_i \sum \ln y_i}{n\sum (\ln x_i)^2 - \left(\sum \ln x_i\right)^2} \\ A &= \exp\!\left( \overline{\ln y} - B\,\overline{\ln x} \right) \\ x_i &= \text{X values},\quad y_i = \text{Y values} \end{aligned} \right.$$
Ejemplo resuelto
Para los datos (1,2), (2,5), (3,11), (4,21), (5,33) con \(n = 5\), las sumas logarítmicas dan \(S_{xx} \approx 1{,}6155\), \(S_{xy} \approx 2{,}8340\) y \(S_{yy} \approx 5{,}0410\). Entonces \(B = 2{,}8340/1{,}6155 \approx 1{,}7544\) y \(A = \exp(2{,}2483 - 1{,}7544 \cdot 0{,}9575) \approx 1{,}7655\). La correlación es \(r \approx 0{,}9933\), un ajuste muy bueno. El modelo resulta \(y \approx 1{,}7655 \cdot x^{1{,}7544}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué deben ser positivos todos los valores? El método aplica \(\ln(x)\) y \(\ln(y)\); el logaritmo de cero o de un número negativo no está definido, así que los puntos no positivos no pueden utilizarse.
¿Cómo se interpreta la correlación r? Un valor de \(|r|\) superior a 0,7 indica una relación fuerte; entre 0,4 y 0,7, moderada; entre 0,2 y 0,4, débil; y por debajo de 0,2, prácticamente inexistente.
¿Importa si uso logaritmos naturales o en base 10? No: el exponente \(B\) y la correlación \(r\) son idénticos en ambos casos. Nosotros empleamos logaritmos naturales y calculamos \(A\) de forma coherente con \(\exp()\), de modo que los resultados coinciden con las referencias estándar.
