Qu'est-ce que la régression puissance ?
La régression puissance ajuste le modèle \(y = A \cdot x^{B}\) à un ensemble de points de données. Cette courbe est omniprésente en physique, en biologie et en économie dès qu'une grandeur évolue comme une puissance d'une autre : croissance allométrique, courbes d'apprentissage et nombreuses lois d'échelle. L'exposant B indique le rythme de la mise à l'échelle, tandis que le coefficient A fixe l'ordre de grandeur global.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos valeurs X et vos valeurs Y sous forme de listes séparées par des virgules ou des espaces, appariées par position (le premier X va avec le premier Y, et ainsi de suite). Chaque valeur doit être strictement positive, car l'ajustement repose sur les logarithmes naturels ; toute ligne contenant une valeur nulle ou négative est ignorée. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez les coefficients ainsi que le coefficient de corrélation r.
La formule expliquée
L'astuce consiste à linéariser. En prenant le logarithme naturel des deux membres de \(y = A \cdot x^{B}\), on obtient $$\ln y = \ln A + B \cdot \ln x$$ soit une droite dans les variables transformées \(t = \ln x\) et \(u = \ln y\). On applique ensuite une régression des moindres carrés ordinaires : on calcule les moyennes, les sommes des carrés \(S_{xx}\) et \(S_{yy}\), ainsi que le produit croisé \(S_{xy}\). La pente \(B = S_{xy}/S_{xx}\) correspond à l'exposant, et \(A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x})\). Le coefficient de corrélation \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}\) mesure à quel point les points log-transformés s'alignent.
Exemple résolu
Pour les données (1,2), (2,5), (3,11), (4,21), (5,33) avec \(n = 5\), les sommes logarithmiques donnent \(S_{xx} \approx 1{,}6155\), \(S_{xy} \approx 2{,}8340\) et \(S_{yy} \approx 5{,}0410\). On a alors $$B = \frac{2{,}8340}{1{,}6155} \approx 1{,}7544$$ et $$A = \exp(2{,}2483 - 1{,}7544 \cdot 0{,}9575) \approx 1{,}7655.$$ La corrélation vaut \(r \approx 0{,}9933\), soit un excellent ajustement. Le modèle est $$y \approx 1{,}7655 \cdot x^{1{,}7544}.$$
FAQ
Pourquoi toutes les valeurs doivent-elles être positives ? La méthode calcule \(\ln(x)\) et \(\ln(y)\) ; or le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini, si bien que les points non positifs ne peuvent pas être utilisés.
Comment interpréter la corrélation r ? Une valeur de \(|r|\) supérieure à 0,7 traduit une relation forte, entre 0,4 et 0,7 modérée, entre 0,2 et 0,4 faible, et inférieure à 0,2 quasi inexistante.
Le choix entre logarithme naturel et logarithme en base 10 a-t-il une importance ? Non : l'exposant B et la corrélation r sont identiques dans les deux cas. Nous utilisons les logarithmes naturels et calculons A de manière cohérente avec exp(), si bien que les résultats concordent avec les références standard.
