Calculateur d'ensemble des parties

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Éléments de l'ensemble (séparés par des virgules)

Lister tous les sous-ensembles ? Oui (si l'ensemble est petit) Non, seulement le décompte

Résultats

Nombre de sous-ensembles |P(S)|

8

= 2^3

Cardinal de l'ensemble (n)	3
Taille de l'ensemble des parties	8
Sous-ensembles listés	8

{} {a} {b} {a, b} {c} {a, c} {b, c} {a, b, c}

Qu'est-ce qu'un ensemble des parties ?

L'ensemble des parties d'un ensemble S, noté \(\mathcal{P}(S)\), est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles de S — depuis l'ensemble vide \(\varnothing\) jusqu'à S lui-même. Par exemple, l'ensemble des parties de \(\{a, b\}\) est \(\{\, \{\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \,\}\). Ce calculateur d'ensemble des parties compte combien de sous-ensembles possède un ensemble et, pour les petits ensembles, les énumère tous, un par un.

L'ensemble des parties d'un ensemble à 3 éléments contient les 8 sous-ensembles possibles, dont l'ensemble vide.

La formule expliquée

Si un ensemble S possède n éléments distincts (son cardinal \(|S| = n\)), alors le nombre de sous-ensembles vaut exactement \(2^{n}\) :

$$\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right|$$

Le raisonnement est limpide : pour chaque élément, vous faites un choix binaire indépendant — l'inclure dans le sous-ensemble ou le laisser de côté. Avec n choix oui/non indépendants, vous obtenez \(2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n}\) combinaisons distinctes, et chaque combinaison correspond à un sous-ensemble.

Chaque élément est soit dans un sous-ensemble, soit hors de celui-ci, soit 2 choix par élément et \(2^{n}\) sous-ensembles au total.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez les éléments de votre ensemble séparés par des virgules (par exemple 1, 2, 3 ou rouge, vert, bleu). Les doublons sont automatiquement ignorés, car un ensemble ne contient que des éléments distincts. Indiquez si vous souhaitez la liste complète des sous-ensembles — celle-ci n'est affichée que pour les ensembles de 12 éléments ou moins, sachant que \(2^{13}\) dépasse déjà 8 000 sous-ensembles.

Exemple résolu

Prenons \(S = \{a, b, c\}\), donc \(n = 3\). Le nombre de sous-ensembles est :

$$2^{3} = 8$$

Les voici : \(\{\}\), \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\), \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\) et \(\{a, b, c\}\). Remarquez que l'ensemble vide et l'ensemble complet sont tous deux présents — c'est précisément ce qui en fait un ensemble des parties.

FAQ

L'ensemble vide est-il toujours inclus ? Oui. Tout ensemble des parties contient l'ensemble vide \(\varnothing\) ainsi que l'ensemble de départ S lui-même.

Quel est l'ensemble des parties de l'ensemble vide ? Il possède \(2^{0} = 1\) élément, à savoir \(\{\, \{\} \,\}\) — un ensemble contenant uniquement l'ensemble vide.

Pourquoi les sous-ensembles ne sont-ils pas listés pour les grands ensembles ? Un ensemble de 20 éléments compte plus d'un million de sous-ensembles, ce qui est impossible à afficher de façon pratique. Le décompte (\(2^{n}\)) reste toujours affiché, quelle que soit la taille.