Qu'est-ce qu'un inverse multiplicatif ?
L'inverse multiplicatif d'un nombre est la valeur par laquelle il faut le multiplier pour obtenir 1. Pour un nombre réel ordinaire a, cet inverse est tout simplement le quotient \(1/a\) — par exemple, l'inverse de 4 est 0,25 puisque \(4 \times 0{,}25 = 1\). Le zéro n'a pas d'inverse, car aucun nombre multiplié par zéro ne donne un.
L'inverse modulaire
En arithmétique modulaire, l'inverse multiplicatif de a (mod m) est l'entier x compris entre 0 et m−1 tel que \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). On le rencontre en permanence en théorie des nombres et en cryptographie (RSA, fonctions de hachage, codes correcteurs d'erreurs). Un inverse modulaire n'existe que si a et m sont premiers entre eux, c'est-à-dire lorsque \(\gcd(a, m) = 1\). Ce calculateur le détermine à l'aide de l'algorithme d'Euclide étendu.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre nombre a. Laissez le module à 0 (ou vide) pour obtenir l'inverse classique \(1/a\). Pour calculer un inverse modulaire, indiquez un module m supérieur à 1 ; le calculateur réduit a modulo m et renvoie l'inverse, ou vous signale qu'il n'en existe aucun si a et m partagent un facteur commun.
Exemple détaillé
Cherchons l'inverse de 3 modulo 11. Il faut trouver x tel que \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). En testant \(x = 4\), on obtient $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}.$$ L'inverse modulaire est donc 4. En tant qu'inverse classique, l'inverse de 3 est \(1/3 \approx 0{,}333333\).
FAQ
Pourquoi le zéro n'a-t-il pas d'inverse ? Parce que tout nombre multiplié par 0 donne 0, jamais 1.
Dans quels cas un inverse modulaire n'existe-t-il pas ? Lorsque \(\gcd(a, m) \neq 1\) — par exemple, 4 n'a pas d'inverse mod 8, car ils partagent le facteur 4.
Puis-je utiliser un nombre négatif pour l'inverse modulaire ? Oui ; il est d'abord ramené dans l'intervalle de 0 à m−1 avant l'inversion.
