ما هو المعكوس الضربي؟
المعكوس الضربي لعددٍ ما هو القيمة التي تضربها فيه لتحصل على الناتج 1. فبالنسبة لأي عدد حقيقي a، يكون هذا المعكوس ببساطة هو المقلوب \(\frac{1}{a}\)؛ فمثلًا معكوس العدد 4 هو 0.25 لأن \(4 \times 0.25 = 1\). أما الصفر فليس له معكوس، إذ لا يوجد عدد إذا ضُرب في الصفر أعطى الناتج واحدًا.
المعكوس النمطي (mod)
في الحساب النمطي (الحساب التقايسي)، يكون المعكوس الضربي للعدد a بالنسبة للمقياس m هو العدد الصحيح x المحصور بين 0 و m−1 بحيث يتحقق \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). ويظهر هذا المفهوم باستمرار في نظرية الأعداد والتشفير (مثل خوارزمية RSA، ودوال التجزئة، وشيفرات تصحيح الأخطاء). ولا يوجد معكوس نمطي إلا إذا كان العددان a وm أوّليين فيما بينهما، أي أن القاسم المشترك الأكبر \(\gcd(a, m) = 1\). وتعتمد هذه الحاسبة على خوارزمية إقليدس الموسّعة لإيجاده.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد a. اترك قيمة المقياس عند 0 (أو فارغة) للحصول على المقلوب البسيط \(\frac{1}{a}\). ولحساب المعكوس النمطي، أدخل مقياسًا m أكبر من 1؛ عندها تختزل الحاسبة العدد a بالنسبة للمقياس m وتعيد المعكوس، أو تخبرك بعدم وجوده إذا كان للعددين a وm قاسم مشترك.
مثال محلول
أوجد معكوس العدد 3 بالنسبة للمقياس 11. نحتاج إلى قيمة x تحقق \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). وبتجربة \(x = 4\) نجد أن $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}.$$ إذن المعكوس النمطي هو 4. أما كمقلوب، فمعكوس العدد 3 يساوي \(\frac{1}{3} \approx 0.333333\).
الأسئلة الشائعة
لماذا ليس للصفر معكوس؟ لأن أي عدد يُضرب في 0 يعطي الناتج 0، ولا يساوي 1 أبدًا.
متى ينعدم وجود المعكوس النمطي؟ عندما يكون \(\gcd(a, m) \neq 1\)؛ فمثلًا العدد 4 ليس له معكوس بالنسبة للمقياس 8 لأنهما يشتركان في العامل 4.
هل يمكنني استخدام عدد سالب لحساب المعكوس النمطي؟ نعم؛ إذ يُختزل العدد أولًا إلى المجال من 0 إلى m−1 قبل إيجاد معكوسه.
