गुणात्मक प्रतिलोम कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

संख्या (a)

मॉड्यूलस (m) — वैकल्पिक, मॉड्यूलर इन्वर्स के लिए साधारण व्युत्क्रम 1/a के लिए इसे 0 या खाली छोड़ दें।

परिणाम

गुणात्मक प्रतिलोम (व्युत्क्रम)

0.2

1 / 5

इनपुट संख्या (a)	5
मॉड्यूलस (m)	0
व्युत्क्रम (1/a)	0.2

गुणात्मक प्रतिलोम क्या होता है?

किसी संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम वह मान होता है जिससे उसे गुणा करने पर परिणाम 1 आता है। किसी सामान्य वास्तविक संख्या a के लिए यह प्रतिलोम बस उसका व्युत्क्रम \(1/a\) होता है — उदाहरण के तौर पर, 4 का प्रतिलोम 0.25 है क्योंकि \(4 \times 0.25 = 1\)। शून्य का कोई प्रतिलोम नहीं होता, क्योंकि शून्य से गुणा करने पर किसी भी संख्या का परिणाम 1 नहीं बन सकता।

$$a^{-1} = \frac{1}{\text{Number (a)}}$$

व्युत्क्रम \(1/a\) वह संख्या है जो a से गुणा करने पर 1 देती है।

मॉड्यूलर इन्वर्स

मॉड्यूलर अंकगणित में, a (mod m) का गुणात्मक प्रतिलोम वह पूर्णांक x होता है जो 0 से m−1 की सीमा में हो और जिसके लिए \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\) सही हो। यह संख्या सिद्धांत (number theory) और क्रिप्टोग्राफी (RSA, हैशिंग, त्रुटि-सुधार कोड) में बार-बार काम आता है। मॉड्यूलर इन्वर्स तभी मौजूद होता है जब a और m सहअभाज्य (coprime) हों — यानी \(\gcd(a, m) = 1\) हो। यह कैलकुलेटर इसे विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म (extended Euclidean algorithm) की मदद से निकालता है।

$$\text{Number (a)} \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod{\text{Modulus (m)}}$$

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मॉड्यूलर व्युत्क्रम x का पालन करता है \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\), जो m स्थानों वाली घड़ी पर लपेटता हुआ दिखाया गया है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपनी संख्या a दर्ज करें। यदि आपको सिर्फ़ साधारण व्युत्क्रम \(1/a\) चाहिए, तो मॉड्यूलस को 0 (या खाली) ही रहने दें। मॉड्यूलर इन्वर्स निकालने के लिए 1 से बड़ा कोई मॉड्यूलस m दर्ज करें; कैलकुलेटर a को m से मॉड्यूलो कम करके इन्वर्स लौटा देगा, या यदि a और m में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो तो बता देगा कि कोई इन्वर्स मौजूद नहीं है।

हल किया गया उदाहरण

3 का प्रतिलोम मॉड्यूलो 11 निकालिए। हमें ऐसा x चाहिए जिसके लिए \(3x \equiv 1 \pmod{11}\) हो। x = 4 आज़माने पर $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$$ मिलता है। इसलिए मॉड्यूलर इन्वर्स है 4। व्युत्क्रम के रूप में, 3 का प्रतिलोम \(1/3 \approx 0.333333\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

शून्य का कोई प्रतिलोम क्यों नहीं होता? क्योंकि किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर परिणाम हमेशा 0 आता है, कभी 1 नहीं।

मॉड्यूलर इन्वर्स कब मौजूद नहीं होता? जब \(\gcd(a, m) \neq 1\) हो — उदाहरण के लिए, 4 का mod 8 में कोई इन्वर्स नहीं है क्योंकि दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड 4 है।

क्या मैं मॉड्यूलर इन्वर्स के लिए ऋणात्मक संख्या इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ; इन्वर्स निकालने से पहले उसे पहले 0 से m−1 की सीमा में कम कर लिया जाता है।