¿Qué es un inverso multiplicativo?
El inverso multiplicativo de un número es el valor por el que hay que multiplicarlo para obtener 1. Para un número real cualquiera a, ese inverso no es más que el recíproco \(1/a\); por ejemplo, el inverso de 4 es 0,25, porque \(4 \times 0{,}25 = 1\). El cero no tiene inverso, ya que ningún número multiplicado por cero da uno.
Inverso modular
En aritmética modular, el inverso multiplicativo de \(a\) (mod \(m\)) es el entero \(x\) dentro del rango de 0 a \(m-1\) que cumple \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). Aparece constantemente en teoría de números y en criptografía (RSA, funciones hash, códigos correctores de errores). Un inverso modular solo existe cuando \(a\) y \(m\) son coprimos, es decir, cuando \(\gcd(a, m) = 1\). Esta calculadora lo obtiene aplicando el algoritmo de Euclides extendido.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tu número \(a\). Deja el módulo en 0 (o en blanco) para obtener el recíproco simple \(1/a\). Para calcular un inverso modular, introduce un módulo \(m\) mayor que 1; la calculadora reduce \(a\) módulo \(m\) y devuelve el inverso, o te avisa de que no existe si \(a\) y \(m\) comparten un factor común.
Ejemplo resuelto
Calculemos el inverso de 3 módulo 11. Buscamos un \(x\) tal que \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). Si probamos con \(x = 4\), obtenemos $$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}.$$ Por tanto, el inverso modular es 4. Como recíproco, el inverso de 3 es \(1/3 \approx 0{,}333333\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué el cero no tiene inverso? Porque cualquier número multiplicado por 0 da 0, nunca 1.
¿Cuándo no existe un inverso modular? Cuando \(\gcd(a, m) \neq 1\). Por ejemplo, 4 no tiene inverso módulo 8, porque ambos comparten el factor 4.
¿Puedo usar un número negativo para el inverso modular? Sí; primero se reduce al rango de 0 a \(m-1\) antes de calcular el inverso.
