¿Qué es la calculadora de inverso multiplicativo modular?
Esta calculadora halla el inverso multiplicativo modular de un número entero a módulo m: el único entero x dentro del rango \(0 \le x < m\) que cumple \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). Emplea el algoritmo extendido de Euclides, que además devuelve el máximo común divisor mcd(a, m). Se trata de teoría de números pura, así que funciona igual en cualquier parte del mundo. Tiene un uso muy extendido en criptografía (generación de claves RSA), en funciones hash y en la resolución de congruencias lineales.
Cómo usarla
Introduce el entero a y un módulo positivo m (usa \(m \ge 2\) para obtener un inverso único con sentido). La herramienta reduce a módulo m, ejecuta el algoritmo extendido de Euclides y muestra el inverso junto con el mcd(a, m). Si a y m no son coprimos (\(\gcd \ne 1\)), no existe inverso y la calculadora te lo indica.
La fórmula explicada
El inverso existe si y solo si \(\gcd(a, m) = 1\). El algoritmo extendido de Euclides encuentra dos enteros s y t tales que \(a \cdot s + m \cdot t = \gcd(a, m)\). Cuando el mcd vale 1, se cumple \(a \cdot s \equiv 1 \pmod{m}\), de modo que el inverso es
$$x = ((s \bmod m) + m) \bmod m$$normalizado al menor residuo no negativo.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 7\), \(m = 4\): como \(7 \equiv 3 \pmod{4}\), resolvemos \(3x \equiv 1 \pmod{4}\). Al aplicar el algoritmo extendido de Euclides a (7, 4) obtenemos \(\gcd = 1\) y el coeficiente de Bézout \(s = -1\), así que
$$x = ((-1 \bmod 4) + 4) \bmod 4 = 3$$Comprobación:
$$7 \cdot 3 = 21 = 5 \cdot 4 + 1 \equiv 1 \pmod{4}$$El resultado es 3.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo no existe el inverso? Únicamente cuando \(\gcd(a, m) > 1\). Por ejemplo, \(a = 6\) y \(m = 9\) tienen \(\gcd = 3\), así que no hay inverso.
¿Puede ser a negativo o mayor que m? Sí. Primero reducimos a módulo m; el resultado no cambia, ya que \(a \equiv a' \pmod{m}\).
¿Y si \(m = 1\)? Todo número entero es congruente con 0 módulo 1, por lo que el inverso es trivialmente 0.
