Qu'est-ce que le calculateur d'inverse modulaire ?
Ce calculateur détermine l'inverse multiplicatif modulaire d'un entier a modulo m — l'unique entier x compris dans l'intervalle \(0 \le x < m\) tel que \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\). Il s'appuie sur l'algorithme d'Euclide étendu, qui fournit également le plus grand commun diviseur PGCD(a, m). Il s'agit de théorie des nombres pure : les résultats sont identiques partout dans le monde. Cet outil est largement utilisé en cryptographie (génération de clés RSA), dans le hachage et pour résoudre des congruences linéaires.
Comment l'utiliser
Saisissez l'entier a et un module positif m (utilisez \(m \ge 2\) pour obtenir un inverse unique et pertinent). L'outil réduit a modulo m, exécute l'algorithme d'Euclide étendu, puis affiche l'inverse accompagné du PGCD(a, m). Si a et m ne sont pas premiers entre eux (PGCD \(\ne 1\)), aucun inverse n'existe et le calculateur vous l'indique.
La formule expliquée
L'inverse existe si et seulement si PGCD(a, m) = 1. L'algorithme d'Euclide étendu détermine deux entiers s et t tels que \(a \cdot s + m \cdot t = \text{PGCD}(a, m)\). Lorsque le PGCD vaut 1, on a \(a \cdot s \equiv 1 \pmod{m}\), donc l'inverse s'écrit $$x = ((s \bmod m) + m) \bmod m,$$ normalisé au plus petit résidu positif.
Exemple résolu
Prenons \(a = 7\) et \(m = 4\) : comme \(7 \equiv 3 \pmod{4}\), on résout \(3x \equiv 1 \pmod{4}\). L'algorithme d'Euclide étendu appliqué à (7, 4) donne PGCD = 1 et le coefficient de Bézout \(s = -1\), d'où $$x = ((-1 \bmod 4) + 4) \bmod 4 = 3.$$ Vérification : \(7 \cdot 3 = 21 = 5 \cdot 4 + 1 \equiv 1 \pmod{4}\). La réponse est donc 3.
FAQ
Quand l'inverse n'existe-t-il pas ? Uniquement lorsque \(\text{PGCD}(a, m) > 1\). Par exemple, pour \(a = 6\) et \(m = 9\), le PGCD vaut 3 : aucun inverse n'existe.
a peut-il être négatif ou supérieur à m ? Oui. On réduit d'abord a modulo m ; le résultat reste inchangé car \(a \equiv a' \pmod{m}\).
Et si m = 1 ? Tout entier est congru à 0 modulo 1, donc l'inverse est trivialement 0.
