मॉड्यूलर गुणक प्रतिलोम कैलकुलेटर क्या है?
यह कैलकुलेटर किसी पूर्णांक a का modulo m में मॉड्यूलर गुणक प्रतिलोम (modular multiplicative inverse) ज्ञात करता है — यानी \(0 \le x < m\) की परिधि में वह अद्वितीय पूर्णांक x जिसके लिए \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\) हो। इसके पीछे विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म (Extended Euclidean Algorithm) काम करता है, जो साथ-साथ महत्तम समापवर्तक \(\gcd(a, m)\) भी लौटाता है। यह शुद्ध संख्या-सिद्धांत (number theory) है और हर जगह एक जैसा ही काम करता है। इसका व्यापक उपयोग क्रिप्टोग्राफ़ी (जैसे RSA कुंजी निर्माण), हैशिंग और रैखिक समानता (linear congruence) हल करने में होता है।
$$\text{Integer }a \cdot x \equiv 1 \pmod{\text{Modulus }m} \quad\Longrightarrow\quad x = a^{-1} \bmod m$$इसका उपयोग कैसे करें
पूर्णांक a और एक धनात्मक मापांक (modulus) m दर्ज करें (अर्थपूर्ण और अद्वितीय प्रतिलोम के लिए \(m \ge 2\) रखें)। यह टूल पहले a को modulo m में घटाता है, फिर विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म चलाता है और प्रतिलोम के साथ-साथ \(\gcd(a, m)\) भी दिखाता है। यदि a और m सहभाज्य (coprime) नहीं हैं (\(\gcd \ne 1\)), तो कोई प्रतिलोम मौजूद नहीं होता और कैलकुलेटर यह स्पष्ट बता देता है।
सूत्र की व्याख्या
प्रतिलोम तभी और केवल तभी मौजूद होता है जब \(\gcd(a, m) = 1\) हो। विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म ऐसे पूर्णांक s और t ज्ञात करता है जिनसे \(a \cdot s + m \cdot t = \gcd(a, m)\) बने। जब gcd 1 हो, तो \(a \cdot s \equiv 1 \pmod{m}\) होता है, इसलिए प्रतिलोम \(x = ((s \bmod m) + m) \bmod m\) होता है, जिसे सबसे छोटे ऋणेतर शेष (least non-negative residue) के रूप में सामान्यीकृत किया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 7\), \(m = 4\): चूँकि \(7 \equiv 3 \pmod{4}\), इसलिए हमें \(3x \equiv 1 \pmod{4}\) हल करना है। (7, 4) पर विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म लगाने पर \(\gcd = 1\) और बेज़ू गुणांक (Bezout coefficient) \(s = -1\) मिलता है, अतः $$x = ((-1 \bmod 4) + 4) \bmod 4 = 3$$ जाँच कीजिए: \(7 \cdot 3 = 21 = 5 \cdot 4 + 1 \equiv 1 \pmod{4}\)। उत्तर है 3।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
प्रतिलोम कब मौजूद नहीं होता? केवल तब, जब \(\gcd(a, m) > 1\) हो। उदाहरण के लिए \(a = 6\), \(m = 9\) का \(\gcd = 3\) है, इसलिए कोई प्रतिलोम मौजूद नहीं होता।
क्या a ऋणात्मक या m से बड़ा हो सकता है? हाँ। हम पहले a को modulo m में घटा लेते हैं; परिणाम अपरिवर्तित रहता है क्योंकि \(a \equiv a' \pmod{m}\)।
यदि m = 1 हो तो? हर पूर्णांक modulo 1 में 0 के समतुल्य होता है, इसलिए प्रतिलोम सरलतः 0 होता है।
