Calculadora de Inverso Multiplicativo Modular

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Entero a

Módulo m

Resultados

Inverso multiplicativo

4

a^-1 mod m

mcd(a, m)	1
Existe inverso	Sí

¿Qué es el inverso multiplicativo módulo m?

El inverso multiplicativo modular de un entero a módulo m es un entero x comprendido entre 1 y m−1 que cumple \((a \cdot x) \bmod m = 1\). Dicho de otro modo, al multiplicar a por x y dividir el resultado entre m, el resto es exactamente 1. Es el equivalente a «dividir entre a» dentro de la aritmética modular, y constituye una pieza fundamental de la teoría de números y la criptografía (generación de claves RSA, funciones hash, el Teorema Chino del Resto y mucho más).

Modular arithmetic wraps the number line into a circle of m positions.

Cómo usar esta calculadora

Introduce el entero a y el módulo m (m debe ser igual o mayor que 2). La calculadora reduce a módulo m, ejecuta el algoritmo de Euclides extendido y devuelve el inverso si existe. Los valores negativos de a se gestionan de forma automática reduciéndolos al rango de 0 a m−1.

La fórmula explicada

El inverso existe si y solo si \(\gcd(a, m) = 1\); es decir, cuando a y m no comparten ningún factor común salvo el 1 (son coprimos o primos entre sí). El algoritmo de Euclides extendido encuentra los enteros s y t que satisfacen \(a \cdot s + m \cdot t = \gcd(a, m)\). Cuando el mcd vale 1, el coeficiente s reducido módulo m es el inverso buscado. Si \(\gcd(a, m) \neq 1\), no existe inverso.

$$\text{a} \cdot x \equiv 1 \pmod{\text{m}}, \quad x \text{ exists } \iff \gcd\!\left(\text{a},\, \text{m}\right) = 1$$

The extended Euclidean algorithm yields x satisfying a·x + m·y = 1.

Ejemplo resuelto

Busquemos el inverso de 3 módulo 11. Necesitamos un x tal que \((3 \cdot x) \bmod 11 = 1\). Si probamos, $$3 \cdot 4 = 12, \quad 12 \bmod 11 = 1.$$ Por tanto, el inverso es 4. El algoritmo de Euclides extendido llega al mismo resultado de inmediato, ya que \(\gcd(3, 11) = 1\).

Multiplying a by its inverse x lands exactly on 1 after wrapping mod m.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo no existe el inverso? Cuando a y m no son coprimos. Por ejemplo, 4 no tiene inverso módulo 8 porque \(\gcd(4, 8) = 4 \neq 1\).

¿El módulo tiene que ser primo? No. Cualquier módulo sirve siempre que a sea coprimo con él. Si m es primo, todo valor de a distinto de cero entre 1 y m−1 tiene inverso.

¿Por qué el resultado siempre está entre 1 y m−1? Porque reducimos el inverso módulo m para ofrecer el representante positivo más pequeño, que es la forma canónica.