¿Qué es el inverso modular?
El inverso multiplicativo modular de un número entero a módulo m es un entero x que cumple \((a \cdot x) \bmod m = 1\). Equivale a la "división" dentro de la aritmética modular y resulta fundamental en la teoría de números, en el criptosistema RSA y en numerosos algoritmos de la teoría de códigos. Esta calculadora obtiene x mediante el algoritmo de Euclides extendido.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número a y el módulo m (con m ≥ 2). La herramienta devuelve el inverso x no negativo más pequeño dentro del rango 0 ≤ x < m, indica si existe el inverso y muestra el mcd(a, m). Si mcd(a, m) ≠ 1, no hay inverso posible y el resultado se muestra como "Ninguno".
La fórmula explicada
El inverso solo existe cuando \(\gcd(a, m) = 1\), es decir, cuando a y m son coprimos (primos entre sí). El algoritmo de Euclides extendido encuentra dos enteros x e y que satisfacen \(a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m)\). Cuando el mcd vale 1, reducir x módulo m da como resultado el inverso. El valor se normaliza a un número positivo sumándole m si resulta negativo.
$$\text{a} \cdot x \equiv 1 \pmod{\text{m}} \quad\Longrightarrow\quad x = \text{a}^{-1} \bmod \text{m}$$
Ejemplo resuelto
Busquemos el inverso de 3 módulo 11. Necesitamos una x tal que \(3x \equiv 1 \pmod{11}\). Probando, \(3 \times 4 = 12 = 11 + 1\), así que \(12 \bmod 11 = 1\). Por lo tanto, x = 4. El algoritmo de Euclides extendido devuelve el mismo valor y, como \(\gcd(3, 11) = 1\), queda confirmado que el inverso existe.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo no existe el inverso? Cuando a y m comparten un factor común mayor que 1; por ejemplo, 4 módulo 6 (mcd = 2) no tiene inverso.
¿Tiene que ser m un número primo? No. m puede ser cualquier entero ≥ 2; lo único que importa es que a y m sean coprimos.
¿En qué rango está la respuesta? El inverso se expresa como el menor residuo no negativo, entre 0 y m − 1.
