乘法逆元计算器

输入计算

数值 (a)

模数 (m)——可选，用于求模逆元 留空或填 0 即可计算普通倒数 1/a。

结果

乘法逆元（倒数）

0.2

1 / 5

输入数值 (a)	5
模数 (m)	0
倒数 (1/a)	0.2

什么是乘法逆元？

一个数的乘法逆元，就是与它相乘后结果为 1 的那个数。对于普通实数 a 来说，它的逆元其实就是倒数 \(1/a\)——比如 4 的逆元是 0.25，因为 \(4 \times 0.25 = 1\)。而 0 没有逆元，因为任何数乘以 0 都不可能等于 1。

倒数 \(1/a\) 是与 \(a\) 相乘等于 1 的数。

模逆元

在模运算（同余）中，a 关于模 m 的乘法逆元，是指在 0 到 m−1 范围内的整数 x，使得 \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\)。这个概念在数论和密码学里随处可见，比如 RSA 加密、哈希算法、纠错码等。模逆元只有在 a 与 m 互质（即 \(\gcd(a, m) = 1\)）时才存在。本计算器采用扩展欧几里得算法来求解。

模逆元 \(x\) 满足 \(a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}\)，以绕一圈 m 个位置的时钟来表示。

如何使用本计算器

输入你要计算的数 a。如果只想求普通倒数 \(1/a\)，把模数（modulus）留空或填 0 即可。若要计算模逆元，请输入一个大于 1 的模数 m；计算器会先把 a 对 m 取模，再返回逆元；如果 a 与 m 有公因数，它会提示逆元不存在。

实例演算

求 3 在模 11 下的逆元。我们需要找到满足 \(3x \equiv 1 \pmod{11}\) 的 x。试一下 \(x = 4\)：$$3 \times 4 = 12 = 11 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$$所以模逆元就是 4。而作为倒数，3 的逆元是 \(1/3 \approx 0.333333\)。

常见问题

为什么 0 没有逆元？因为任何数乘以 0 都等于 0，永远得不到 1。

什么情况下模逆元不存在？当 \(\gcd(a, m) \neq 1\) 时。例如 4 在模 8 下没有逆元，因为它们有公因数 4。

模逆元可以用负数吗？可以；计算前会先把它归约到 0 到 m−1 的范围内，再求逆。