ما هي حاسبة الكواتيرنيون؟
الكواتيرنيون هو عدد رباعي الأبعاد يُكتب على الصورة \(q = w + xi + yj + zk\)، حيث يمثّل w الجزء القياسي (الحقيقي)، بينما يمثّل (x, y, z) الجزء المتجهي (التخيّلي). تُستخدم الكواتيرنيونات على نطاق واسع في الرسوميات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد، والروبوتات، والملاحة الجوية والفضائية، والفيزياء، لتمثيل عمليات الدوران دون الوقوع في مشكلة «قفل المحاور» (gimbal lock) المرتبطة بزوايا أويلر. تقوم هذه الحاسبة بضرب كواتيرنيونين، كما تعرض معيار كلٍّ من المُدخَلين ومرافق الكواتيرنيون الأول.
طريقة الاستخدام
أدخِل المكونات الأربعة (w, x, y, z) لكلٍّ من الكواتيرنيونين q1 و q2. تُرجِع الحاسبة حاصل ضرب هاميلتون q1 × q2 على هيئة كواتيرنيون جديد، إضافةً إلى مقدار (معيار) كلا المُدخَلين، ومرافق q1. ولاحظ أن ضرب الكواتيرنيونات غير تبديلي: فبوجهٍ عام q1 × q2 ≠ q2 × q1، أي أن ترتيب العملية مهم.
شرح الصيغة الرياضية
يجمع حاصل ضرب هاميلتون بين جزء قياسي وجزء متجهي. الجزء القياسي يساوي w₁w₂ ناقص الضرب النقطي للجزأين المتجهيين. أما الجزء المتجهي فيساوي w₁v₂ + w₂v₁ زائد الضرب الاتجاهي v₁ × v₂. ويُحسب المعيار بوصفه الطول الإقليدي \(\sqrt{w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)، بينما يقتصر المرافق على عكس إشارة المكونات المتجهية: \(q^{*} = (w, -x, -y, -z)\).
$$\begin{gathered} q_1 q_2 = (w_1 w_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2) + (w_1 x_2 + x_1 w_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2)\,i \\ + (w_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 w_2 + z_1 x_2)\,j + (w_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 w_2)\,k \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} q_1 &= \text{w}_1 + \text{x}_1\,i + \text{y}_1\,j + \text{z}_1\,k \\ q_2 &= \text{w}_2 + \text{x}_2\,i + \text{y}_2\,j + \text{z}_2\,k \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ $$q_1^{*} = \text{w}_1 - \text{x}_1\,i - \text{y}_1\,j - \text{z}_1\,k$$ $$\lVert q_1 \rVert = \sqrt{\text{w}_1^{2} + \text{x}_1^{2} + \text{y}_1^{2} + \text{z}_1^{2}}$$ $$\lVert q_2 \rVert = \sqrt{\text{w}_2^{2} + \text{x}_2^{2} + \text{y}_2^{2} + \text{z}_2^{2}}$$
مثال محلول
لنفترض أن q1 = (1, 2, 3, 4) و q2 = (5, 6, 7, 8). يكون الجزء القياسي \(1\cdot5 - 2\cdot6 - 3\cdot7 - 4\cdot8 = 5 - 12 - 21 - 32 = -60\). والمكوّن i هو \(1\cdot6 + 2\cdot5 + 3\cdot8 - 4\cdot7 = 6 + 10 + 24 - 28 = 12\). والمكوّن j هو \(1\cdot7 - 2\cdot8 + 3\cdot5 + 4\cdot6 = 7 - 16 + 15 + 24 = 30\). والمكوّن k هو \(1\cdot8 + 2\cdot7 - 3\cdot6 + 4\cdot5 = 8 + 14 - 18 + 20 = 24\). وبذلك يكون q1 × q2 = (−60, 12, 30, 24).
الأسئلة الشائعة
هل ضرب الكواتيرنيونات تبديلي؟ لا. فبسبب حدّ الضرب الاتجاهي، يختلف q1 × q2 عن q2 × q1 في الحالة العامة.
ما هو الكواتيرنيون الوحدوي؟ هو كواتيرنيون معياره يساوي 1. وتمثّل الكواتيرنيونات الوحدوية عمليات دوران خالصة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
كيف أُدوّر متجهًا؟ عامِل المتجه كأنه كواتيرنيون قيمته w = 0، ثم احسب \(q \cdot v \cdot q^{*}\)، حيث يكون q كواتيرنيونًا وحدويًا يرمز إلى عملية الدوران.
