ما هي حاسبة ضرب الأعداد المركبة؟
يأخذ العدد المركب الصيغة \(a + bi\)، حيث يمثّل \(a\) الجزء الحقيقي، ويمثّل \(b\) الجزء التخيلي، أما \(i\) فهو الوحدة التخيلية المعرّفة بالعلاقة \(i^2 = -1\). تقوم هذه الحاسبة بضرب عددين مركبين، \((a + bi)\) و\((c + di)\)، وتعرض الناتج بالصيغة القياسية \(a + bi\). وهي أداة عملية في الجبر، والهندسة الكهربائية (مثل الأطوار والممانعة)، ومعالجة الإشارات، والفيزياء.
كيفية الاستخدام
أدخل الجزأين الحقيقي والتخيلي للعدد الأول (\(a\) و \(b\))، ثم العدد الثاني (\(c\) و \(d\)). تعرض الحاسبة الناتج فورًا، مفصولًا إلى جزئه الحقيقي وجزئه التخيلي. كما تدعم الأداة القيم السالبة والأعداد العشرية بشكل كامل.
شرح المعادلة
يعتمد ضرب الأعداد المركبة على خاصية التوزيع (طريقة FOIL):
$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$
وبما أن \(i^2 = -1\)، فإن الحد \(bdi^2\) يتحول إلى \(-bd\). وبتجميع الحدود الحقيقية والتخيلية نحصل على:
$$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$
وبذلك يكون الجزء الحقيقي للناتج هو \(ac - bd\)، والجزء التخيلي هو \(ad + bc\).
مثال محلول
لنضرب \((3 + 2i)\) في \((1 + 4i)\):
- الجزء الحقيقي: $$ac - bd = (3)(1) - (2)(4) = 3 - 8 = -5$$
- الجزء التخيلي: $$ad + bc = (3)(4) + (2)(1) = 12 + 2 = 14$$
الناتج هو \(-5 + 14i\).
الأسئلة الشائعة
ما قيمة \(i^2\)؟ حسب التعريف، \(i^2 = -1\)، وهذا بالضبط هو السبب في أن حاصل ضرب الجزأين التخيليين يُطرح من الجزء الحقيقي.
هل يمكنني ضرب عدد حقيقي في عدد مركب؟ نعم — اجعل قيمة \(b\) أو \(d\) تساوي 0. فمثلًا، ضرب \((5 + 0i)\) في \((2 + 3i)\) يعطي \(10 + 15i\).
ماذا لو كان كلا العددين تخيليًا بحتًا؟ ضرب \((0 + 2i)\) في \((0 + 3i)\) يعطي \(6i^2 = -6\)، وهو عدد حقيقي.
