نتائج

مربع كامل لثلاثي الحدود

نعم ✓

Factors as ( x + ٣ )²

b²	٣٦
4ac	٣٦
المميّز (b² − 4ac)	٠
√a	١
√c	٣

ما هو المربع الكامل لثلاثي الحدود؟

المربع الكامل لثلاثي الحدود هو عبارة تربيعية يمكن كتابتها على صورة مربع لذات الحدين، مثل $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ أو $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. وبالنسبة لثلاثي حدود عام على الصورة $ax^2 + bx + c$، يتحقق ذلك تمامًا عندما يكون المميّز مساويًا للصفر، أي عندما يتحقق الشرط $b^2 = 4ac$. تأخذ هذه الحاسبة المعاملات الثلاثة وتخبرك فورًا بما إذا كان ثلاثي الحدود مربعًا كاملًا، ثم تعرض لك صيغة التحليل إلى عوامله.

مخطط بلاطات جبرية لثلاثية حدود مربعة كاملة تكوّن مربعًا — ثلاثية حدود مربعة كاملة تترتب في مربع طول ضلعه $(x + c)$، موضحة $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل المعامل a (العدد الذي يسبق $x^2$)، والمعامل b (العدد الذي يسبق $x$)، والحد c (الحد الثابت). تقوم الأداة بحساب $b^2$ و$4ac$، ثم تقارن بينهما وتعطيك النتيجة بـ«نعم» أو «لا». فإذا كان مربعًا كاملًا، تُعرض صيغة التحليل $(\sqrt{a}\cdot x \pm \sqrt{c})^2$، بحيث تتطابق الإشارة مع إشارة $b$.

شرح الصيغة الرياضية

عند فك $(\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2$ نحصل على $a\cdot x^2 + 2\sqrt{ac}\cdot x + c$. ولمطابقة المعامل الأوسط يلزم أن يكون $b = 2\sqrt{ac}$، وبتربيع الطرفين نحصل على $b^2 = 4ac$. لذا فإن التحقق من الشرط $b^2 = 4ac$ يكافئ تمامًا التحقق من أن العبارة التربيعية لها جذر مكرّر (مزدوج)، وهو الخاصية المميّزة للمربع الكامل لثلاثي الحدود.

$$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$

مقارنة بين b تربيع و4ac لاختبار المربع الكامل — اختبار $b^2 = 4ac$: تساوي القيم يؤكد ثلاثية الحدود المربعة الكاملة.

مثال محلول

لنأخذ $x^2 + 6x + 9$. هنا $a = 1$، $b = 6$، $c = 9$. إذن $b^2 = 36$ و$4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36$. وبما أن $36 = 36$، فهو مربع كامل. وبما أن $\sqrt{a} = 1$ و$\sqrt{c} = 3$ والحد الأوسط موجب، فإنه يُحلَّل إلى $(x + 3)^2$. وللتحقق: $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$. ✓

الأسئلة الشائعة

ماذا لو كان a أو c سالبًا؟ يتطلب المربع الكامل الحقيقي المعتاد لثلاثي الحدود أن يكون كل من $a$ و$c$ غير سالب حتى تكون الجذور التربيعية حقيقية. ولا يزال اختبار $b^2 = 4ac$ يكشف عن قيمة المميّز، لكن التحليل إلى ذات الحدين المعروض يفترض جذورًا حقيقية.

هل تؤثّر إشارة b؟ فقط في صيغة التحليل: قيمة $b$ السالبة تعطي $(\sqrt{a}\cdot x - \sqrt{c})^2$، والقيمة الموجبة تعطي $(\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2$. أما اختبار المربع الكامل نفسه فيعتمد على $b^2$، لذا فإن الإشارة لا تؤثّر على كون العبارة مؤهّلة أم لا.

لماذا يجب أن يساوي b² القيمة 4ac تمامًا؟ لأن المربع الكامل له جذر مزدوج؛ وأي قيمة أخرى للمميّز تعني وجود جذرين مختلفين (أو عدم وجود جذور حقيقية)، وعندها لا يمكن لثلاثي الحدود أن ينطوي على هيئة مربع واحد لذات الحدين.

الآلات الحاسبة ذات الصلة