ما المقصود بإكمال المربع؟
إكمال المربع أسلوب جبري يعيد كتابة العبارة التربيعية \(ax^2 + bx + c\) على هيئة حدٍّ مربعٍ كامل مضافًا إليه ثابت. تتيح هذه الصيغة قراءة حلول المعادلة بسهولة، كما تكشف عن إحداثيات رأس القطع المكافئ. تطبّق هذه الحاسبة الطريقة على أي معادلة تربيعية بشرط أن يكون \(a \neq 0\)، وتعرض لك الجذور الحقيقية وقيمة المميِّز وإحداثيات الرأس.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc من معادلتك \(ax^2 + bx + c = 0\). تحسب الأداة المميِّز \(b^2 - 4ac\)؛ فإذا كان موجبًا أو يساوي صفرًا، ظهر لك جذران حقيقيان (يتطابقان عندما يساوي المميِّز صفرًا). أما إذا كان المميِّز سالبًا فلا توجد حلول حقيقية، وتكون الجذور أعدادًا مركّبة.
شرح القانون
نبدأ من \(ax^2 + bx + c = 0\)، فنقسم على a وننقل الثابت إلى الطرف الآخر: \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\). ثم نضيف \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) إلى الطرفين لإكمال المربع، فنحصل على $$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$ وبأخذ الجذر التربيعي وعزل x نصل إلى $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$ وهو القانون العام المعروف للمعادلة التربيعية. أما رأس القطع المكافئ فيقع عند \(x = -\frac{b}{2a}\).
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(x^2 - 6x + 5 = 0\)، حيث \(a = 1\) وb \(= -6\) وc \(= 5\). يكون المميِّز $$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.$$ ومنه $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2,$$ فنحصل على \(x_1 = 5\) وx_2 \(= 1\). ويقع الرأس عند \(x = 3\)، \(y = 9 - 18 + 5 = -4\).
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان المميِّز سالبًا؟ لا يقطع القطع المكافئ المحور السيني، ولذلك لا توجد جذور حقيقية، وتكون الحلول أعدادًا مركّبة.
لماذا يجب ألّا يساوي a صفرًا؟ إذا كان \(a = 0\) تتحول المعادلة إلى معادلة خطية لا تربيعية، ولا تنطبق عليها طريقة إكمال المربع.
ماذا تخبرني به إحداثيات الرأس؟ هي أدنى نقطة في القطع المكافئ عندما يكون \(a > 0\) (قيمة صغرى)، أو أعلى نقطة عندما يكون \(a < 0\) (قيمة عظمى).
