什么是配方法？
配方法是一种代数技巧，它把二次式 \(ax^2 + bx + c\) 改写成「一个完全平方项加上一个常数」的形式。这种形式让我们能够一眼看出方程的解，并轻松求出抛物线的顶点。本计算器适用于任意满足 \(a \neq 0\) 的一元二次方程，并给出实数根、判别式以及顶点坐标。
如何使用
把方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 中的三个系数 \(a\)、\(b\)、\(c\) 分别填入对应输入框。计算器会先算出判别式 \(b^2 - 4ac\)。当判别式为零或为正时，会显示两个实数根（判别式为零时两根相等）；当判别式为负时，方程没有实数解，此时的根为复数。
公式推导
从 \(ax^2 + bx + c = 0\) 出发，两边同除以 \(a\) 并把常数移到右边，得到 \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)。再在两边同时加上 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) 来「配方」，于是 \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)。开平方并解出 \(x\)，即得 $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 这正是我们熟悉的求根公式。顶点的横坐标位于 \(x = -\frac{b}{2a}\)。
例题演示
以 \(x^2 - 6x + 5 = 0\) 为例，此时 \(a = 1\)，\(b = -6\)，\(c = 5\)。判别式为 $$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$ 代入可得 $$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$ 于是 \(x_1 = 5\)，\(x_2 = 1\)。顶点位于 \(x = 3\)，\(y = 9 - 18 + 5 = -4\)。
常见问题
判别式为负数会怎样？这说明抛物线与 x 轴没有交点，因此没有实数根，方程的解是复数。
为什么 a 不能为零？如果 \(a = 0\)，方程就退化成一次方程，不再是二次方程，配方法自然也就不适用了。
顶点能告诉我什么？当 \(a > 0\) 时，顶点是抛物线的最低点（最小值）；当 \(a < 0\) 时，顶点是抛物线的最高点（最大值）。
