平方完成とは？
平方完成とは、2次式 \(ax^2 + bx + c\) を「完全平方の項＋定数」の形に書き換える代数の手法です。この形に直すと、方程式の解や放物線の頂点をひと目で読み取れるようになります。本ツールは \(a \neq 0\) のあらゆる2次方程式にこの方法を適用し、実数解・判別式・頂点をまとめて表示します。
使い方
方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の3つの係数 a・b・c を入力するだけです。ツールはまず判別式 \(b^2 - 4ac\) を計算します。判別式が 0 以上のときは2つの実数解が表示されます（0 のときは2つの解が一致して重解になります）。判別式が負のときは実数解は存在せず、解は複素数になります。
公式の解説
\(ax^2 + bx + c = 0\) から出発し、両辺を a で割って定数項を移項すると \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\) となります。両辺に \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) を加えて平方完成すると \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\) が得られます。平方根をとって x について解くと、おなじみの2次方程式の解の公式
$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$が導かれます。頂点の x 座標は \(x = -\frac{b}{2a}\) です。
計算例
\(x^2 - 6x + 5 = 0\) の場合、\(a = 1\)、\(b = -6\)、\(c = 5\) です。判別式は
$$(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$$よって
$$x = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{2} = 3 \pm 2$$となり、\(x_1 = 5\)、\(x_2 = 1\) が得られます。頂点は \(x = 3\)、\(y = 9 - 18 + 5 = -4\) です。
よくある質問
判別式が負のときは？ 放物線が x 軸と交わらないため、実数解は存在しません。解は複素数になります。
なぜ a は 0 ではいけないの？ \(a = 0\) だと方程式は2次ではなく1次（線形）になり、平方完成は適用できません。
頂点からは何がわかるの？ \(a > 0\) のときは放物線の最も低い点（最小値）、\(a < 0\) のときは最も高い点（最大値）を表します。
