पावर रिग्रेशन क्या है?
पावर रिग्रेशन किसी डेटा बिंदुओं के समूह पर \(y = A \cdot x^{B}\) मॉडल को फ़िट करता है। यह वक्र भौतिकी, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र में हर उस जगह आम है जहाँ एक राशि दूसरी राशि की किसी घात (power) के अनुपात में बढ़ती है — जैसे एलोमेट्रिक वृद्धि, लर्निंग कर्व और कई स्केलिंग नियम। घातांक B बताता है कि स्केलिंग की दर कितनी है, जबकि गुणांक A समग्र परिमाण तय करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने X मान और Y मान को कॉमा या स्पेस से अलग की गई सूची के रूप में दर्ज करें, जो स्थिति के अनुसार मेल खाते हों (पहला X पहले Y के साथ जुड़ता है, और इसी तरह आगे)। हर मान का धनात्मक होना ज़रूरी है, क्योंकि फ़िटिंग में प्राकृतिक लघुगणक (natural log) का इस्तेमाल होता है; जिस भी पंक्ति में मान शून्य या उससे कम होगा, उसे छोड़ दिया जाएगा। फिर तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, और गुणांक तथा सहसंबंध गुणांक r पढ़ लें।
सूत्र की व्याख्या
असली तरकीब है रैखिकीकरण (linearization)। \(y = A \cdot x^{B}\) के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर मिलता है $$\ln y = \ln A + B \cdot \ln x$$ जो रूपांतरित चर \(t = \ln x\) और \(u = \ln y\) में एक सीधी रेखा है। इसके बाद हम सामान्य लीस्ट-स्क्वेयर रिग्रेशन चलाते हैं: माध्य (mean), वर्गों के योग \(S_{xx}\) और \(S_{yy}\), तथा गुणनफल योग \(S_{xy}\) निकालते हैं। ढलान \(B = S_{xy}/S_{xx}\) ही घातांक है, और \(A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x})\)। सहसंबंध गुणांक \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}\) यह मापता है कि लॉग-रूपांतरित बिंदु कितनी अच्छी तरह एक रेखा में आते हैं।
हल किया गया उदाहरण
डेटा (1,2), (2,5), (3,11), (4,21), (5,33) के लिए, जहाँ \(n = 5\) है, लॉग योग देते हैं \(S_{xx} \approx 1.6155\), \(S_{xy} \approx 2.8340\), और \(S_{yy} \approx 5.0410\)। तब $$B = \frac{2.8340}{1.6155} \approx 1.7544$$ और $$A = \exp(2.2483 - 1.7544 \cdot 0.9575) \approx 1.7655$$ सहसंबंध \(r \approx 0.9933\) है, यानी बेहद अच्छा फ़िट। इस तरह मॉडल बनता है $$y \approx 1.7655 \cdot x^{1.7544}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सभी मानों का धनात्मक होना क्यों ज़रूरी है? यह विधि \(\ln(x)\) और \(\ln(y)\) लेती है; शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित ही नहीं होता, इसलिए ऐसे बिंदुओं का इस्तेमाल नहीं किया जा सकता।
सहसंबंध r को कैसे पढ़ें? जब \(|r|\) का मान 0.7 से ऊपर हो तो यह मज़बूत संबंध दर्शाता है, 0.4–0.7 मध्यम, 0.2–0.4 कमज़ोर, और 0.2 से नीचे लगभग कोई संबंध नहीं।
क्या प्राकृतिक लॉग या आधार-10 लॉग इस्तेमाल करने से फ़र्क पड़ता है? नहीं — घातांक B और सहसंबंध r दोनों ही तरीकों से समान रहते हैं। हम प्राकृतिक लॉग का उपयोग करते हैं और A की गणना \(\exp()\) के साथ सुसंगत रूप से करते हैं, ताकि परिणाम मानक संदर्भों से मेल खाएँ।
