ما هو انحدار القوة؟
يطابِق انحدار القوة النموذج \(y = A \cdot x^{B}\) مع مجموعة من نقاط البيانات. يشيع هذا المنحنى في الفيزياء والأحياء والاقتصاد كلما تغيّرت كمية ما تبعًا لقوة أُسّية لكمية أخرى — كالنمو التفاضلي (الألومتري)، ومنحنيات التعلّم، والعديد من قوانين القياس. يخبرك الأُس \(B\) بمعدّل التغيّر بالقياس، بينما يحدّد المعامل \(A\) المقدار الكلّي العام.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل قيم X وقيم Y على هيئة قوائم مفصولة بفواصل أو مسافات، مرتّبة بحسب الموضع (تقترن أول قيمة X بأول قيمة Y وهكذا). يجب أن تكون كل قيمة موجبة تمامًا، لأن المطابقة تعتمد على اللوغاريتمات الطبيعية؛ ولذلك يُتجاهَل أي صف يحتوي قيمة تساوي صفرًا أو أقل. اختر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اقرأ المعاملات ومعامل الارتباط \(r\).
شرح المعادلة
الحيلة هنا هي التحويل إلى علاقة خطية. بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفَي المعادلة \(y = A \cdot x^{B}\) نحصل على \(\ln y = \ln A + B \cdot \ln x\)، وهو خط مستقيم بدلالة المتغيّرين المحوَّلين \(t = \ln x\) و\(u = \ln y\). عندئذٍ نطبّق انحدار المربعات الصغرى الاعتيادي: نحسب المتوسطات، ومجموعَي المربعات \(S_{xx}\) و\(S_{yy}\)، والجداء المتبادل \(S_{xy}\). الميل \(B = S_{xy}/S_{xx}\) هو الأُس، و\(A = \exp(\overline{\ln y} - B \cdot \overline{\ln x})\). أما معامل الارتباط \(r = S_{xy}/\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}\) فيقيس مدى انتظام النقاط المحوّلة لوغاريتميًا على خط واحد.
$$y = A \cdot x^{B}$$$$B = \frac{n\sum \ln x_i \ln y_i - \sum \ln x_i \sum \ln y_i}{n\sum (\ln x_i)^2 - \left(\sum \ln x_i\right)^2}$$$$A = \exp\!\left( \overline{\ln y} - B\,\overline{\ln x} \right)$$
مثال محلول
للبيانات \((1,2)\) و\((2,5)\) و\((3,11)\) و\((4,21)\) و\((5,33)\) حيث \(n = 5\)، تعطي المجاميع اللوغاريتمية \(S_{xx} \approx 1.6155\) و\(S_{xy} \approx 2.8340\) و\(S_{yy} \approx 5.0410\). ومنها \(B = 2.8340/1.6155 \approx 1.7544\)، و\(A = \exp(2.2483 - 1.7544 \cdot 0.9575) \approx 1.7655\). ويبلغ الارتباط \(r \approx 0.9933\)، وهي مطابقة قوية. يكون النموذج هو \(y \approx 1.7655 \cdot x^{1.7544}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون كل القيم موجبة؟ لأن الطريقة تأخذ \(\ln(x)\) و\(\ln(y)\)، ولوغاريتم الصفر أو العدد السالب غير معرّف؛ ولذلك لا يمكن استخدام النقاط غير الموجبة.
كيف أقرأ معامل الارتباط r؟ القيم التي تتجاوز فيها \(|r|\) الـ 0.7 تدل على علاقة قوية، و0.4–0.7 علاقة متوسطة، و0.2–0.4 علاقة ضعيفة، وأقل من 0.2 تعني انعدامها فعليًا.
هل يهمّ استخدام اللوغاريتم الطبيعي أم لوغاريتم الأساس 10؟ لا — فالأُس \(B\) ومعامل الارتباط \(r\) متطابقان في كلتا الحالتين. نحن نستخدم اللوغاريتمات الطبيعية ونحسب \(A\) بما يتوافق مع الدالة \(\exp()\)، فتأتي النتائج مطابقة للمراجع المعتمدة.
