ما هي المثلثات القائمة المتشابهة؟
عندما نرسم الارتفاع من الزاوية القائمة في مثلث قائم نحو وتره، فإنه يقسم المثلث الأصلي إلى مثلثين أصغر. وتكون المثلثات الثلاثة جميعها — الأصلي والقطعتان الناتجتان — متشابهة فيما بينها. ينتج عن هذا التشابه العلاقات الشهيرة للوسط الهندسي (أو ما يُعرف بعلاقات «ارتفاع المثلث القائم»)، والتي تتيح لك إيجاد الارتفاع والضلعين القائمين اعتمادًا فقط على الجزأين اللذين يقسمهما الارتفاع على الوتر.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل جزأي الوتر، p وq. يقع الجزء p بمحاذاة أحد الضلعين القائمين بينما يقع الجزء q بمحاذاة الضلع الآخر، ويشكّلان معًا طول الوتر الكامل. تُرجع لك الحاسبة قيمة الارتفاع h، وطول الوتر الكامل، إضافة إلى طولي الضلعين القائمين.
شرح القانون
الارتفاع المرسوم نحو الوتر هو الوسط الهندسي لجزأي الوتر: $$h = \sqrt{\text{p} \cdot \text{q}}$$ أما كل ضلع قائم فهو الوسط الهندسي بين طول الوتر الكامل والجزء المجاور له: $$a = \sqrt{\text{p} \cdot (\text{p}+\text{q})}$$ و$$b = \sqrt{\text{q} \cdot (\text{p}+\text{q})}$$ وهذه العلاقات تنبثق مباشرة من التناسب بين المثلثات المتشابهة.
مثال محلول
لنفترض أن \(p = 4\) و\(q = 9\). يكون الوتر مساويًا \(4 + 9 = 13\). ويكون الارتفاع $$\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$$ أما الضلعان القائمان فهما \(\sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52} \approx 7.2111\) و\(\sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117} \approx 10.8167\). ويمكنك التحقق من النتيجة باستخدام نظرية فيثاغورس: $$7.2111^2 + 10.8167^2 \approx 52 + 117 = 169 = 13^2$$
الأسئلة الشائعة
ما هو الوسط الهندسي؟ الوسط الهندسي لعددين a وb هو \(\sqrt{a \cdot b}\) — أي القيمة x التي تحقق العلاقة \(a/x = x/b\).
هل يمكن أن يتساوى p وq؟ نعم. إذا كان \(p = q\) فإن المثلث يكون قائمًا ومتساوي الساقين عند قدم الارتفاع، ويصبح الارتفاع مساويًا لكل جزء من الجزأين.
ماذا لو كنت أعرف الضلعين القائمين فقط؟ استخدم في هذه الحالة نظرية فيثاغورس المعتادة؛ فهذه الأداة مخصصة تحديدًا لعلاقات الوسط الهندسي القائمة على جزأي الوتر.
